650 XVIII. Jahrg. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



1903. Nr. 51. 



Aber zum drittenmal hat die fortschreitende Wissen- 

 schaft ihr Verdikt ausgesprochen. In dem Augen- 

 blick, wo man das Gebäude der klassischen Himmels- 

 mechanik mit dieser schimmernden Spitze krönen 

 wollte, zeigte sich ein klaffender Riß in den Funda- 

 menten. Poincare wies 1890 nach, daß die Reihen 

 alter und neuer Art, mit denen die Astronomen ar- 

 beiten, in gewissem Grade sinnlos, weil divergent, 

 sind, daß der Epizyklen so viele und so große sind, 

 daß die Summe ihrer Radien unendlich wird. 



Mit diesem revolutionierenden Satze Poincares 

 muß die Bestätigung der Formeln der Astronomen 

 durch den beobachteten Lauf der Gestirne als ein 

 Zufall erscheinen , der Beweis der Stabilität des Pla- 

 netensystems wird gänzlich hinfällig. Um den Unter- 

 schied kräftig zu pointieren — ist es nach den 

 Poincareschen Untersuchungen über die Natur des 

 Dreikörperproblems sehr wohl möglich , man darf 

 fast sagen, wahrscheinlich, daß das Planetensystem 

 auf die Dauer im höchsten Grade instabil ist, daß 

 die Erde einmal mit Jupiter ihren Platz vertauschen, 

 daß unser Mond um den Mars kreisen und wir den 

 Saturnring annektieren könnten. 



Ea ist kaum ein schärferer Gegensatz denkbar 

 als der zwischen dem Gedanken an eine so extra- 

 vagante Instabilität des, Planetensystems und dem 

 Glauben an jene Reihenentwickelungen, die die Be- 

 stätigung an der astronomischen Beobachtung im 

 Rücken haben. Es bildet den Schluß meiner Aufgabe, 

 zu zeigen, wie sich beide Standpunkte vereinigen. 



Wenn ich absehe von der nicht gänzlich ausge- 

 schlossenen Möglichkeit, daß jene trigonometrischen 

 Reihen für spezielle, vielleicht „überall dichtliegende" 

 Anfangslagen konvergieren, so hat Poincare jeden- 

 falls gezeigt, daß jene Reihe den Charakter soge- 

 nannter „semikonvergenter" Entwickelungen haben. 

 Zunächst in abstrakt mathematischer Sprache aus- 

 gedrückt lautet sein Satz : Bleibt man bei dem p- 

 Gliede der Reihen stehen, so ist der übrig bleibende 

 Fehler kleiner als : 



p" • A (0 



wo (l eine Größe von der Ordnung der störenden 

 Massen und A v (t) eine für jeden endlichen Index p 

 und jede endliche Zeit t endliche von fi unabhängige 

 Größe ist. Anschaulicher ist gemeint, daß die Reihen 

 der Störungstheorie sich verhalten analog der Reihe 



i +-*L + -*- + -*!- + ••■ 



1000 T (1000) 2 T (1000p 



= 1 -f 0,003 -f 0,000027 + 7620 -f •••, 



deren drei erste Glieder rapide abnehmen, während 

 die folgenden so rasch ansteigen, daß das fünfte Glied 

 bereits eine Zahl mit Billionen von Stellen wäre. 

 Dabei haben diese Art Reihen das Eigentümliche, 

 was ihre praktische Brauchbarkeit bedingt, daß die 

 Genauigkeit, mit der sie das gewünschte Resultat 

 darstellen, nicht von den unendlich großen, fort- 

 gelassenen Gliedern abhängt, sondern durch das 

 letzte mitgenommene Glied wenigstens der Größen- 

 ordnung nach gegeben wird. Es würde also an die 



Astronomen die Vorschrift zu ergehen haben, ihre 

 Reihen nicht unbegrenzt fortzusetzen. Das tun sie 

 aber ohnehin aus praktischen Gründen, und zwar 

 sind sie stets beim dritten Gliede in ihren Reihen 

 stehen geblieben. Was sie dann erhalten , muß nach 

 Poincare für begrenzte Zeit eine gute Annäherung 

 an die strenge Lösung des Problems geben. 



Auf Grund einer einfachen Restabschätzung, die 

 ich für den Fall der Störungen der Erde durch Ju- 

 piter ausgeführt habe, kann ich diesen Satz noch 

 konkreter aussprechen. Es läßt sich nachweisen, 

 daß die Formeln , die aus den drei ersten Gliedern 

 der Reihen hervorgehen, für 1000 Jahre in minde- 

 stens fünfstelliger Genauigkeit gelten, und daß ferner 

 Jupiter in 1 Million Jahren die große Achse der Erd- 

 bahn sicher nicht mehr als um 1 / 10t) ändert. Auch 

 scheint kaum Zweifel darüber zu bestehen, daß man 

 durch sorgfältigere Betrachtungen nach vorhandenen 

 Methoden jene Genauigkeit als siebenstellig und diese 

 Zeit als von 100 oder 1000 Millionen Jahren Dauer 

 erweisen könnte. 



Damit ist der Zwiespalt behoben. Beide Seiten 

 behalten auf ihre Art recht. Die Formeln, welche 

 die Astronomen benutzen, müssen für die Zeiten, aus 

 denen Beobachtungen vorliegen , der Beobachtungs- 

 genauigkeit entsprechen , ihre Übereinstimmung mit 

 der Erfahrung ist kein Zufall , solange anders das 

 Newtonsche Gesetz gültig ist. Die in ihnen ent- 

 haltene Zusicherung der Stabilität des Planeten- 

 systems ist richtig für 1 Million Jahre, insofern 

 während dieser Zeit nur unbedeutende Änderungen 

 der Bahnen vor sich gehen, sie ist es wahrscheinlich 

 auch noch für 1000 Millionen Jahre. Erst in Bil- 

 lionen oder vielleicht Trillionen Jahren mögen sich 

 die Störungen bis zur Vernichtung der jetzigen Ord- 

 nung des Planetensystems angehäuft haben. 



Hiermit ist dann auch die ideale Frage beantwortet 

 in einem Umfange, dereine 100000jährige Vergangen- 

 heit des Menschengeschlechtes auf der stabilen Erde 

 zuläßt und ungemessenen Zukunftsmöglichkeiten sei- 

 ner Entwickelung für die nächste Million Jahre Raum 

 bietet. Sie ist der Beantwortung wenigstens nahe 

 gerückt in einer Ausdehnung, die selbst den Geologen 

 befriedigt, der für seine Schichtenfolgen 1000 Mil- 

 lionen Jahre in Anspruch nimmt. Nur der Geist des 

 reinen Mathematikers , der alle Knoten lösen will, 

 auch wenn er sie selbst geknüpft hat, ist nicht zu- 

 frieden gestellt und fragt logisch weiter: Woran kann 

 es liegen , daß jene vielversprechenden trigonometri- 

 schen Reihen nicht konvergieren ? Man kann dar- 

 auf in gewissem Grade eine Antwort geben : Weil sie 

 ihrer ganzen Bauart nach, wenn sie konvergierten, 

 gewiß nicht alle Bewegungsformen darstellen, die im 

 Vielkörperproblem auftreten. Welches diese Bewe- 

 gungsformen sind , darüber wird die Weiterentwicke- 

 luug der Himmelsmechanik Aufschluß zu geben haben; 

 man kann Bewegungen vermuten , die zwischen dem 

 rotierenden und dem oszillierenden Pendel abwech- 

 seln, mau kann sich vergegenwärtigeil, daß, wie 

 zwischen den Umlaufszciten der Planeten selbst, fo 



