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Naturwissenschaft liehe Rundschau. 



Nr. 42. 



P. G. Lejeune Dirichlet: Vorlesungen über Zahle n- 

 theorie. Herausgegeben und mit Zusätzen ver- 

 sehen von lt. Dedekind. Vierte umgearbeitete 

 und vermehrte Auflage. XVII u. 657 S. 8°. (Braun- 

 schweig 1894, Kriech'. Vieweg & Sohu.) 

 Aus den drei ersten Auflagen dieses Werkes , die 

 1863, 1871 und 1879 bis 1880 erschienen sind, hat der 

 Herausgeber den auf Dirichlet zurückgehenden Inhalt 

 der §§. 1 bis 104 und 111 bis 110 (Supplement I und II) 

 fast unverändert gelassen, ebenso die von ihm selber 

 herrührenden §§. 105 bis 110 und die Supplemente III 

 bis IX, so dass die Inhaltsangabe der ersteu Auflage 

 über diese Abschnitte sich mit derjenigen der vor- 

 liegenden deckt. Aehnlich stimmt auch das Supple- 

 ment X mit dem der dritten Ausgabe überein. Dagegen 

 hat das umfangreiche XI. Supplement: „Ueber die 

 Theorie der ganzen algebraischen Zahlen" 

 eine vollständige Umarbeitung erfahren. Dasselbe nimmt 

 etwa den dritten Theil des Buches in Anspruch; ver- 

 einigt man es mit den übrigen Zusätzen des Heraus- 

 gebers, so erhält mau mehr als die Hälfte des Umfanges. 

 Wenn wir also rein äusserlich abmessen, so haben wir 

 ein Werk vor uns , das ebenso wohl nach dem Heraus- 

 geber wie nach Dirichlet benannt sein könnte. 



Und gerade an den Inhalt des letzten Supplementes 

 knüpft sich das Interesse der produetiven Mathema- 

 tiker. Zwar bleibt die erste Hälfte des Werkes als 

 Schöpfung eines Meisters auf dem Gebiete der Zahlen- 

 theorie, wie bei seinem ersteu Erscheinen, ein vortreff- 

 liches Lehrbuch zur Einführung in dieses Gebiet der 

 Mathematik und wird als solches von den Studireudeu 

 gern benutzt; aber die in den Vorlesungen nieder- 

 gelegten Gedanken sind seit lauge Gemeingut der Mathe- 

 matiker. Die Fortführung der fruchtbaren Gedanken 

 der Zahleutheorie ist immer nur wenigen Mathematikern 

 beschieden gewesen, und unter den jetzt lebenden Zahleu- 

 theoretikern steht Herr Dedekind in der ersten Linie 

 der führenden Geister. Darum war ihm schon öfter der 

 Wunsch ausgesprochen worden , er möchte für seine 

 allgemeine Zahleutheorie sowohl die algebraischen als 

 auch die eigentlich^ zahleutheoretischen Principieu ein- 

 gehender darstellen. Zum letzten Male hatte er dies 

 in einer französischen Schrift (1877 bei Gauthier-Villars) 

 und dann ähnlich in der dritten Auflage des vorliegen- 

 den Werkes (1880) gethau. Nachdem inzwischen der 

 nunmehr verstorbene Kronecker, gerade wie Herr 

 Dedekind ein Schüler und Freund von Dirichlet, in 

 seineu „Grundzügeu einer arithmetischen Theorie der 

 algebraischen Grössen" eine ganz andere Theorie der 

 Gebilde aufgestellt hatte, welche Herr De dekind durch 

 seine „Ideale" bemeistert, haben wir diesem Letzteren 

 dafür zu danken, dass er jetzt seine Idealtheorie in 

 vervollkommneter Darstellung und in derjenigen Auf- 

 fassung vorführt, die er nach seiner Ueberzeugung für 

 die einfachste hält, weil sie hauptsächlich nur einen 

 deutlichen Ueberblick über das Reich der Zahlen und die 

 Kenntnisse der rationalen Gruudoperationen voraussetzt. 

 Um für einen grösseren Leserkreis wenigstens die 

 Richtung der Ideen kenntlich zu machen, um welche 

 es sich handelt, wobei wir einer Darstellung des Herrn 

 H. Weber in dem Nekrologe für Kronecker folgen, 

 erinnern wir daran , dass in der niederen Arithmetik 

 Zahlen betrachtet werden , welche aus der positiven 

 und der negativen Einheit entstehen, dass aber auch 

 dort schon solche Zahlen eingeführt werden , welche 

 die Quadratwurzel aus — 1 (mit -\- i und — i bezeichnet) 

 zur Grundlage haben. Nach dem Vorgange von Gauss 

 führte dann Kummer eine Theorie derjenigen Zahlen 

 durch, die auf den «ten Wurzeln aus der Einheit be- 

 ruhen , und endlich ist man zu solchen Zahlen über- 

 gegangen, die aus den Wurzeln einer algebraischen 

 Gleichung «ten Grades mit gauzzahligen Coefficienten 

 gebildet sind. Während nun in dem rationalen Zahlen- 

 körper (dem der gewöhnlichen Zahlen) die Primzahlen 

 nicht weiter zerlegbar sind und nur dann ein Product 

 mehrerer Factoren theilen , wenn sie wenigstens einen 

 der Factoren des Productes theilen , treten in den 

 höheren Zahlkörperu Zahlen auf, die nicht zerlegbar 

 sind und ein Product theilen, ohne einen semer Fac- 

 toren zu theilen, so dass eine Zahl auf mehr als eine 

 Art in unzerlegbare Factoren zerfällt werden kann. Herr 

 Dedekind löst die hierdurch entstehende Schwierig- 

 keit, indem er nicht einzelne Zahlen, sondern Systeme 



von Zahlen betrachtet, die als Specialfall das System 

 aller Vielfachen einer festen Zahl enthalten, die er 

 „Ideale" nennt, ein Name, der zu Ehren der Kummer'- 

 schen Schöpfung der „idealen Factoren" gebildet ist, 

 aber nicht mit ihr unmittelbar zusammenhängt. Nach- 

 dem die Multiplication und die Theilbarkeit dieser Ideale 

 detinirt ist, wird bewiesen, dass jedes Ideal auf eine 

 einzige Weise in Primfactoren , d. h. Primideale, zer- 

 legbar ist , in völliger Uebereinstimmung mit den Ge- 

 setzen der Theilbarkeit bei den rationalen Zahlen. 



Nachdem sich Herr Dedekind von seinen Berufs- 

 geschäften an der Technischen Hochschule zu Braun- 

 schweig hat entlasten lassen , dürfen wir vielleicht 

 hoffen , dass es ihm gelingen wird , die Arbeiten über 

 die Idealtheorie zu veröffentlichen, wegen deren, wie 

 er in dem Vorwort schreibt, er manches eingehender 

 behandelt hat, als es die unmittelbaren Ziele des vor- 

 liegenden Werkes fordern. Die Durchsichtigkeit und 

 Klarheit, mit welcher er seine Ideen darstellt, werden 

 gewiss viele Mathematiker veranlassen , ihm gern bei 

 seinen Forschungen zu folgen. E. Lampe. 



H. Friedrich: Die Biber an der mittleren Elbe. 

 Nebst einem Anhange über Platypsyllus castoris 

 Ritzema. 97 S. mit 1 Karte und 6 Abbildungen. 

 (Dessau 1894, Baumann.) 

 Nach einer einleitenden Uebersicht über die Ver- 

 breitung der Biber in Europa macht Verf. auf Grund 

 längerer, eigener Beobachtungen Mittheilungen über die 

 Biber des mittleren Eibgebietes, beschreibt den Körper- 

 bau des europäischen Bibers und vervollständigt unsere 

 Kenntniss von der Lebensweise dieser interessanten 

 Thiere. Die Anzahl der gegenwärtig an der Elbe 

 zwischen Wartenberg und Magdeburg, sowie im Mündungs- 

 gebiete ihrer Nebenflüsse (Mulde, Saale, Nuthe) existi- 

 renden Biberbauten giebt Verf. auf 108 an, die Anzahl 

 der dieselben bewohnenden Thiere schätzt er auf etwa 

 160, doch ändert sich der Bestand Jahr für Jahr, da 

 Uferregulirungen, Schifffahrt, Witterungs- und Wasser- 

 standsverhältnisse das Wohlbefinden der Thiere beein- 

 flussen. Trotz des nicht zu leugnendeu Schadens, 

 welchen dieselben dem Forst oder auch den Uferbauten, 

 Deichen u. s. w. zufügen, legt Verf. mit Recht ein Wort 

 für die Schonung dieser interessanten, nur noch in einem 

 so beschränkten Gebiete vorkommenden Nager ein, deren 

 Tage ohnebin gezählt sind und gegen deren schädliche 

 Thätigkeit man sich bei hinlänglicher Vorsicht schützen 

 kann. Verf. weist darauf hin, dass die gesetzlichen Be- 

 stimmungen über die Schonzeit der Biber auf den ver- 

 schiedenen Rechtsgebieten , welche in dem Wohnbezirk 

 der Thiere zusammenstossen, so verschieden sind, dass 

 schon hierdurch jede wirksame Schonung unmöglich wird. 

 Aus den Mittheilungen des Verf. über die Lebens- 

 weise sei hier hervorgehoben, dass auch im Elbgobiete 

 Damm -Anlagen von Seiten der Biber häufiger aus- 

 geführt werden , als nach den bisherigen spärlichen 

 Mittheilungen darüber angenommen werden konnte. 

 Verf. hat selbst mehrere solcher Biberdämme gesehen, 

 nur finden sich dieselben nicht in den grossen Flüssen, 

 sondern in Bächen. Die Unterschiede in der Lebens- 

 weise der deutschen und amerikanischen Biber will 

 Verf. nicht durch verschiedene Höhe der Intelligenz 

 erklären, sondern dadurch, dass die fortschreitende 

 Kultur, die die Wohngebiete der Biber mehr und mehr 

 beschränkt, ihnen auch in der Bethätigung ihres Bau- 

 triebes Beschränkungen aufnöthigt. Selbst wenn die 

 Unterschiede des europäischen und amerikanischen 

 Bibers augenblicklich die speeifische Trennung beider 

 rechtfertigen , so spricht doch alles für ihre Eutwickc- 

 lung aus einer gemeinsamen Stammform und für einen 

 einstigen Zusammenhang des europäisch amerikanischen 

 Bibergebietes. Einen neuen Beweis hierfür glaubt Verf. 

 darin erblicken zu müssen , dass er auch im Pelz der 

 Eibbiber die bisher nur von kanadischen und französischen 

 Bibern bekannten parasitischen Käfer aufgefunden hat, 

 welche seiner Zeit von Ritzema als Platypsyllus 



