Nr. 42. 1900. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XV. Jahrg. 541 



von ihr verschiedenes Ding entspräche. Es giebt nur 

 einerlei Elemente, aus welchen eich das vermeintliche 

 Drinnen und Draufsen zusammensetzt, die aber nur, je 

 nach der temporären Betrachtung, drinnen oder draufsen 

 sind." — Durch die dualistische Weltanschauung, die bei 

 der Trennung der beiden Gebiete, theils das Psychische 

 aus dem Physischen, theils das Physische aus dem Psy- 

 chischen erklären will, entstehen die zahlreichen Schein- 

 probleme, die durch den consequenten Monismus hin- 

 fällig werden. Das „Ignorabimus" besteht; es beruht 

 aber auf einer verkehrten Fragestellung. 



Ein Werk von Mach braucht keine besondere 

 Empfehlung; der Name des Verf. ist Empfehlung genug. 

 Keiner wird das Buch ohne die nachhaltigste Anregung 

 lesen. Jede Zeile trägt die ausgeprägte Individualität 

 des Verf.; dies und der hohe, vorurteilsfreie Standpunkt, 

 der in dem ganzen Werke eingenommen wird, sind nicht 

 die geringsten Vorzüge, die es so anziehend machen. 



P. R. 



Berichte aus den naturwissenschaftlichen 

 Abtheilungen der 72. Versammlung der Gesell- 

 schaft deutscher Naturforscher und Aerzte in 

 Aachen 1900. 



Abtheilung für Mathematik und Astronomie 



in gemeinschaftlicher Tagung mit der deutschen Mathe- 

 matiker -Vereinigung. 



Die Besuchsziffer beträgt ungefähr 40. Unter den 

 Anwesenden sind die Ausländer zu nennen: Bö eher 

 (Cambridge), Hagen (Washington), Mittag-Leffler 

 (Stockholm), Neuberg (Lüttich), Schoute (Groningen), 

 Wir tinger (Innsbruck). 



Erste Sitzung, Montag, den 17. September, 4 Uhr. 

 Herr Jürgens (Aachen) begrüfst die Herren der Ab- 

 theilung im Namen des Ortscomites und Herr Hubert 

 (Göttingen) im Namen der deutschen Mathematiker-Ver- 

 einigung. Zum Vorsitzenden wird gewählt Herr Jürgens 

 (Aachen). Nach Erledigung der die äufsere Ordnung be- 

 treffenden Angelegenheiten eröffnet die Reihe der Vor- 

 träge Herr Mittag-Leffler (Stockholm). Thema: „Dar- 

 stellung monogener Functionen von mehreren unab- 

 hängigen Veränderlichen." Es handelt sich darum, eine 

 Verallgemeinerung der Taylor sehen Reihe zu finden, 

 die imstande ist, einen Zweig einer analytischen Function 

 in dem ganzen von den nächsten singulären Stellen ge- 

 bildeten Sterne darzustellen. Ferner mufs verlangt 

 werden, dafs die Reihe nicht aufserhalb des Sternes 

 convergire, ohne eine Fortsetzung des Functionenzweiges 

 darzustellen. In der That läfst sieh eine «fache Reihe 

 aufstellen, deren Limes für » = oo alle Bedingungen erfüllt. 

 Die Constanten Bind bis auf drei , die rational sind, al- 

 gebraisch irrationale Zahlen. Auch ist eine Darstellung 

 durch eine Doppelreihe nebst einem folgenden Grenz- 

 übergang möglich. Dagegen hat schon Borel gezeigt, 

 dafs es nicht möglich ist, ein Polynom zu finden, dessen 

 Grad eine bestimmte Function der ganzen Zahl n ist, 

 so dafs der Grenzwerth dieses Polynoms für n = oo die 

 angegebenen Bedingungen erfüllt. Es folgt eine An- 

 wendung auf das »(-Körperproblem. Die Ausdehnung 

 der Methode auf zwei oder mehr Variable ist in doppel- 

 ter Weise möglich: einmal in der gewöhnlichen, wobei 

 alle Variabein gleichberechtigt auftreten ; dann aber auch 

 in einer anderen Art, wobei eine Variable bevorzugt 

 wird. — An der Discussion betheiligen sich Jürgens 

 (Aachen), Klein (Göttingen), Kneser (Dorpat). — Herr 

 Kneser (Dorpat) erstattet sein für die Mathematiker- 

 Vereinigung bestimmtes Referat über „Die Entwickelung 

 und den gegenwärtigen Stand der Variationsrechnung". 

 Im Anschlüsse an einzelne Stufen der Entwickelung wird 

 auf neue Probleme hingewiesen: 1. Wie schon mehrere 

 Autoren gezeigt haben, kann jede gewöhnliche Differen- 

 tialgleichung zweiter Ordnung als eine Lagrangesche 



aufgefafst werden. Welches aber der Affect einer solchen 

 Transformation sei, ist ein noch nicht endgültig gelöstes 

 Problem. 2. Die verallgemeinerte Aufgabe J zu einem 

 Maximum zu machen, falls / nicht als Integral darge- 

 stellt ist, sondern als Lösung einer Differentialgleichung 

 erster Ordnung, ist noch nicht vollständig erledigt. 



3. Das isoperimetrische Problem ist auf den Fall mehrerer 

 simultaner Differentialgleichungen auch dann auszudehnen, 

 falls nur Stetigkeit, aber nicht Entwickelbarkeit der vor- 

 kommenden Functionen vorausgesetzt ist. Im Anschlufs 

 hieran wird auf einen vielverbreiteten Fehler aufmerk- 

 sam gemacht, indem man den Fall, dafs für die Differen- 

 tialgleichungen gewisse Anfangswerthe vorgeschrieben 

 sind, mit dem identifieirt, wo dies nicht der Fall ist. 



4. Bei der Betrachtung der zweiten Variation fehlt der 

 Nachweis, dafs es auf der Extremalen stets einen ersten 

 Punkt geben mufs, wo die zweite Variation aufhört 

 positiv resp. negativ zu sein. 5. Im Anschlufs daran 

 folgen Bemei'kungen über die Jacobische und die 

 Weierstrafssche Theorie. Es kann beim isoperi- 

 metrischen Problem Ausnahmepunkte geben, so dafs 

 auch in conjugirten Punkten selbst die Extremaleigen- 

 schaft nicht aufhört. Ein Beispiel bilden die Spitzen 

 der Enveloppe einer Ellipse beim Problem der kürzesten 

 Entfernung. G. Hinsichtlich der Anwendungen bleiben 

 unter anderen die Fragen zu lösen: „Ist die Gleich- 

 gewichtsfigur eines rotirenden Fadens stabil?" „Können 

 die Gleichungen einer incompressiblen P'lüssigkeit allein 

 aus dem Princip der virtuellen Verrückung und der In- 

 compressibilitätsbedingung abgeleitet und damit die 

 Lagrang eschen Betrachtungen zu strengen gemacht 

 werden?" — Discussion: Hubert, Mittag-Leffler, 

 Stäckel (Kiel), Klein. 



Zweite Sitzung, Dienstag, den 18. September, Vor- 

 mittags 10 Uhr. Vorsitzender Hubert (Göttingen). — 

 Herr Wanger in (Halle): „Bestimmung aller Flächen 

 constanten Krümmungsmafses." Zu dieser, Bestimmung 

 bedarf man der Kenntnifs der sechs G aufs sehen Funda- 

 mentalgrößen erster und zweiter Ordnung. Zwischen 

 diesen bestehen drei partielle Differentialgleichungen und 

 eine endliche Gleichung, so. dafs man zwei jener sechs 

 Gröfsen willkürlich wählen kann. Setzt man zwei passend 

 ausgewählte gleich Null, so gelingt es, die oben erwähn- 

 ten Differentialgleichungen in endlicher Form zu inte- 

 griren und weiter auch die Coordinaten der Flächen- 

 punkte in endlicher Form durch die Parameter auszu- 

 drücken, eine bisher noch nicht gelöste Aufgabe. Die 

 Lösung tritt zunächst in complexer Form auf, kann 

 aber durch Einführung neuer Variablen in reelle Form 

 übergeführt werden. — Discussion: Stäckel, Fritz 

 Kötter (Berlin), Klein, Hubert. — Herr Minkowski 

 (Zürich): „Ueber die Begriffe Länge, Oberfläche und 

 Volumen." Die Begriffe der Länge einer Curve (C) und 

 der Oberfläche einer krummen Fläche {F) werden einzig 

 auf den Begriff des Volumens gegründet. Um jeden 

 Punkt von G oder F construirt man eine Kugel vom 

 Radius r; das Volumen des von diesen Kugeln erfüllten 

 Bereiches sei V(r). Dann ist die Länge von C, resp. die 



V(r) 



Oberfläche von F der Grenzwerth von 



IfiO 



2r 



für ein unendlich abnehmendes 



bezw. von 



Durch eine 



wesentliche Verallgemeinerung dieses Begriffes der Ober- 

 fläche, wobei Btatt Kugeln beliebige convexe Körper be- 

 nutzt werden, gelingt ein sehr einfacher Beweis des 

 Satzes, dafs unter allen convexen Körpern von gleicher 

 Oberfläche die Kugel ein Maximum an Volumen hat. 

 Sie besitzt ferner in dieser Gattung von Körpern ein 

 Minimum an mittlerer Krümmung und ein Maximum 

 des Productes von Volumen und mittlerer Krümmung. 

 — Discussion: E. Kötter (Aachen), Klein, Hubert, 

 Fr. Meyer (Königsberg). — Herr Stäckel (Kiel): „Ueber 

 geodätische Linien." Der Vortragende zeigt, dafs unter 

 gewissen aber allgemeinen Voraussetzungen die geo- 



