542 XV. Jahrg. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



1900. Nr. 42. 



dätischen Linien von Flächen, deren Linienelement die 

 Lionvillesche Form hat, einen gewissen Bereich überall 

 dicht erfüllen, abgesehen von geodätischen Linien, die 

 periodisch verlaufen. Die Anfangsrichtungen der peri- 

 odischen Linien, die von einem Punkte der Fläche aus- 

 gehen, liegen unter der Gesammtheit der Anfangsrich- 

 tungen überall dicht und haben die Mächtigkeit des 

 Inbegriffs der ganzen Zahlen. Die Ausführungen stützen 

 sich auf einen Satz von Herrn Staude. Eine ausführ- 

 liche Darstellung wird in den „Mathematischen Annalen" 

 erscheinen. — Discussion: Fr. Kötter, Hubert, 

 Wirtinger (Innsbruck), Kneser. — Herr Wangerin: 

 „Beweis eines Satzes über Krümmungslinien." Es handelt 

 sieh um den Satz, dafs bei der Transformation durch 

 reciproke Radien die Krümmungslinien der ursprüng- 

 lichen Fläche in solche der neuen übergehen. Der Be- 

 weis dieses Satzes läfst sich sehr anschaulich gestalten, 

 wenn man zu der gegebenen Fläche ihre Parallelflächen 

 hinzunimmt, sowie die beiden Scharen von abwickelbaren 

 Flächen, die alle jene Parallelflächen senkrecht schneiden. 

 Bei der Abbildung durch reciproke Radien geht das so 

 gewonnene dreifache orthogonale System in ein anderes 

 dreifach orthogonales über und nun führt der Dupinsche 

 Satz sofort zu dem in Rede stehenden Satze. — Discus- 

 sion: Klein, Hubert. 



Dritte Sitzung, Dienstag, den 18. September, Nach- 

 mittags 4 Uhr. Vorsitzender Wangerin (Halle). — Herr 

 Fricke (Braunschweig): „Zur Theorie der Poincare- 

 schen Reihen." Der Vortragende bespricht die Möglich- 

 keit der Darstellung automorpher Formen duich Poin- 

 care sehe Reihen. Hat man eine Gruppe mit convergenten 

 Reihen der Dimension d, so sind alle diejenigen Formen, 

 welche in etwaigen parabolischen Spitzen verschwinden, 

 und nur diese als Poincaresche Reihen darstellbar. 

 Dieser in Specialfallen schon lange bekannte Satz gilt 

 ausnahmslos, welches auch die Natur der Gruppe und 

 das Geschlecht des automorphen Gebildes sein mag. 

 Beim Beweise spielen die sogenannten eigentlichen auto- 

 morphen Formen ( — 2)ter Dimension, vorausgesetzt, dafs 

 überhaupt die zugehörigen Reihen convergent sind, eine 

 Ausnahmerolle. Während man nämlich im allgemeinen 

 den Nachweis des genannten Theorems auf die Betrach- 

 tung sogenannter einpoliger Elementarformen gründet, 

 erfordert der Ausnahmefall die Benutzung zweipoliger 

 Reihen. — Discussion: Klein, Wirtinger. — Herr 

 Fr. Meyer (Königsberg): „Ueber geometrische Sätze vom 

 Charakter des Pascalscben und Desar guesschen." Es 

 wird ein einfaches Princip angegeben, das gestattet, den 

 Pascal sehen Satz sehr einfach zu beweisen. Der weitere 

 Vortheil dieser Methode besteht darin, dafs sie sich 

 auch auf Punktgruppen (statt der sechs Eckpunkte des 

 Pascal sehen Sechseckes) ausdehnen läfst. Eine Er- 

 weiterung auf den Raum ist in doppelter Weise möglich. 

 Schliefslich ergiebt sich auf Grund dieses Verfahrens 

 eine Verallgemeinerung deB Desarguesschen Satzes. — 

 Discussion: E. Kötter, Gutzmer (Jena). — Herr 

 Steinitz (Charlottenburg): „Zur Theorie der Abelschen 

 Gruppen." Es wird die Frage in Angriff genommen : 

 Welches sind die hinreichenden und nothwendigen Be- 

 dingungen dafür, dafs eine Abelsche Gruppe vom Typus y 

 als Product zweier Gruppen vom Typus « resp. ß auf- 

 gefafst werden kann, und welches ist die Zahl der mög- 

 lichen Darstellungen? Die Aufgabe wird erledigt für den 

 Fall, dafs die Gruppe vom Typus ß nur eine Invariante 

 aufser 1 besitzt. Für den Fall beliebig vieler Invarianten 

 läfst sich die Aufgabe lösen, falls die Ordnung aller vor- 

 kommenden Gruppen 3 nicht übersteigt. Es wird dann 

 noch auf den Zusammenhang des Problems mit dem der 

 Elementartheiler hingewiesen. Man kann die Zahl t der 

 möglichen Darstellungen als Function der Invarianten 

 darstellen; aber die Entscheidung, wann die Zahl t Null 

 ist, wann also keine solche Darstellung möglich ist, ist 

 noch nicht durchführbar. Stellt man die Invarianten 

 als Potenzen einer Primzahl p dar, so gilt wahrscheinlich 



der Satz, dafs t nur dann verschwinden kann, wenn h, 

 der Coefficient der höchsten Potenz von p, verschwindet. 

 Auf den Zusammenhang dieses Coefficienten h mit den 

 alternirenden Functionen wird hingewiesen. — Herr 

 Schoute (Groningen): „Ein besonderes Bündel von 

 quadratischen Räumen im Raum von vier Dimensionen." 

 Die Eigenthümlichkeit des betrachteten Bündels fufst 

 darin, dafs die Basiscurve in acht Gerade zerfällt, welche 

 mit einander ein dem Schläflischen Doppelsechs in 

 seinen Eigenschaften entsprechendes Doppelvier bilden. 

 Aufgrund dieser Ausartung wird das Geschlecht fünf 

 der allgemeinen Basiscurve achter Ordnung abgeleitet. — 

 Discussion: Fr. Meyer, Klein. 



Vierte Sitzung, Donnerstag, den 20. September, Vor- 

 mittags 9 Uhr. Vorsitzender von Mangoldt (Aachen). 

 — Herr Jürgens (Aachen): „Berechnung von Deter- 

 minanten." Die Berechnung einer in Zahlen gegebenen 

 Determinante »iten Grades wird zurückgeführt auf die 

 Berechnung einer solchen (n — l)ten Grades und einer 

 Unbekannten x aus einem Gleichungssystem mit n Un- 

 bekannten. Es handelt sich darum, passende Multipli- 

 catoren zu finden, die gestatten, das Gleichungssystem 

 umzuwandeln und dann durch approximative Substi- 

 tutionen bis zu jeder beliebigen Genauigkeit nach x auf- 

 zulösen. — Discussion: Stäckel, Klein, Fr. Meyer, 

 Schoute, Wellstein (Strafsburg). — Herr E. Kötter 

 (Aachen): „Construction der Oberfläche zweiter Ordnung, 

 welche neun gegebene Punkte enthält." Der Vortragende 

 construirt nach Ausführungen über frühere Lösungen 

 der Aufgabe in folgender Weise die S, B, C, A lt A t , A 3 , 

 A„ A % , enthaltende Fläche zweiter Ordnung F v Man 

 erzeuge das in bekannter Weise aufzufindende einschalige 

 Hyperboloid B x , welches S, C, A t , A t , A 3 , A t , A b und 

 SB enthält, durch die projeetivischen Ebenenbüschel 

 ß ßißtßa- ■■h'? #i <?i da---, deren erstes die Axe SB 

 besitzt. Die Axe des zweiten werde so gewählt, dafs die 

 ß oder SBC entsprechende Ebene ä aufser C auch 

 enthält. In analoger Weise erzeuge man durch die pro- 

 jeetivischen Ebenenbüschel y y' y" y'" . . . 7\ £ '' e " e '" • ■ • 

 das Hyperboloid H, , welches B, A ir A„ A 3 , A t , -4 5 und 

 S C enthält. Der Ebene y oder S B C (= ß) des ersten 

 Büschels mit der Axe S C entspreche eine Ebene e, 

 welche aufser B auch enthält. Man erhält dann zwei 

 reciproke, F s erzeugende Strahlenbündel, wenn man der 

 Schnittlinie sf^ der Ebenen ß t und y(Q die Ebene af 

 zuweist, welche mit der Schnittlinie jfv von ö { und 

 bOO verbindet. In der That entspricht einem von s{ 

 durchlaufenen Strahlenbüschel eine von t[' beschriebene 

 projeetivische Kegelschar, welche einen von aus- 

 gehenden Strahl, die Schnittlinie von <? und f, enthält. 

 Diese Kegelschar wird von aus durch einen zu ihr 

 projeetivischen Ebenenbüschel projicirt. Jeder gemein- 

 same Punkt von H l und H 2 , in dem sich zwei homologe 

 Strahlen s ^ und t™ treffen, ist auch in dem Erzeugnifs 

 der reeiproken Strahlenbündel enthalten , welches also 

 alle neun gegebenen Punkte aufnimmt. Die Betrachtung 

 ergiebt auch, wie der Vortragende noch ausführt, dafs 

 neun Punkte eine Fläche F. 2 im allgemeinen eindeutig 

 festlegen. — Discussion: Fr. Meyer, Heun (Berlin), 

 Stäckel, Steinitz. — Herr Fr. Meyer: „Ueber singu- 

 lare bilineare Formen und Relationen zwischen Unter- 

 determinanten." Es wird ein sehr einfaches Verfahren 

 gezeigt , das gestattet , eine bilineare Form von 2 n 

 Variablen für den Fall, dafs die Hauptdeterminante A 

 sowie die aus einem nicht verschwindenden Kern Prten 

 Grades durch Ränderung entstehenden Determinanten 

 Null sind, auf eine Form von 2r Variablen zurückzu- 

 führen. Für die Determinantentheorie folgen daraus die 

 Sätze: „Wenn alle geränderten Determinanten (r -f- l)ten 

 Grades verschwinden, der Kern aber nicht, so sind alle 

 Unterdeterminanten (r -4- l)ten Grades der Hauptdeter- 

 minante Null", und: „Sind der Kern P und alle gerän- 



