^.^ Redaktion: 7 Dr. H. Potonie. 



Verlag: Ferd. Dmmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94. 



Elementare Ableitung einer genaueren Pendelformel. 



Von Prof. Schubert in Hamburg. 



t 



./- 



Die Formel fr die Schwingungszeit eines matjje- 

 matischeu Pendels 



l 



(J 



wo / die Pendellange bedeutet, giebt bekanntlich fr die 

 Zeit t zu kleine Wertiie, die um so ineiir von dem rieh 

 tigen Werthe abweichen, je grsser der halbe Ausschlags 

 Winkel a ist, 

 Formel: 



Andererseits setzt die Ableitung der genauen 



-]/: 



sin''^ + 



1.3\2 



2-4 

 1-3 



sin 



2-4.6 



sin" 



+ 



die Kenntuiss der Integralrechnung, insbesondere der 

 elliptischen Integrale, voraus. Der Zweck der folgenden 

 Zeilen ist nun, ohne Benutzung der Ditferential- und 

 Integralrechnung, nachzuweisen, dass die genaue Schwin- 

 gungszeit zwischen den beiden Grenzen 



TT]/ 



l + ^sin2-^) und 



'/i 



1 



cos ; 



liegt, wo der erstgenannte Ausdruck die untere Grenze, 

 also kleiner als die wahre Schwingungszeit ist, der 

 zweitgenannte Ausdruck die obere Grenze, also grsser als 

 die wahre Schwingungszeit ist. Ist z. M. l so lang, dass 



71 y gerade 1 Secunde ergiebt, so ergeben unsere 



Formeln, dass die genaue Zeit bei einem halben Aus- 

 schlagswinkel 



von = 5" zwischen 1,00047 und 1,00095 Secunden 

 liegt, und 



bei = 4.50 zwischen 1,0300 und 1,0824 Secunden 

 liegt. 



Die umstehende Figur verdeutliche die Schwingung 

 der Pendellnge OA = l ber die vertikale Lage 

 OE hinaus bis OB, so dass 4lA0E=EOB gleich dem 

 halben Ausschlagswinkel ist. OE schneide AB in V. 

 Ist /'' ein beliebiger Punkt des von dem schweren 

 Punkte beschriebenen Bogens AEB, so hat derselbe in F 

 nach den Fallgesetzen dieselbe Geschwindigkeit v, wie 

 ein Punkt in G hat, wenn er von C aus gefallen ist, wo 

 G der Schnitt von (E mit der Parallelen zu AC durch 

 F ist. Demnach ist die Geschwindigkeit des pendelnden 

 Punktes in F: 



1. 



v^ngi'ir x). 



wo CD^ DE= r, GE^x gesetzt ist. Mit der Ge- 

 schwindigkeit V werde das Bogenelement /-'i^, in der Zeit t 

 durchlaufen. Dann ist 



S2g{2r x) 



Zieht man nun F^^F^ senkrecht zu FG, so erhlt man 

 ein unendlich kleines Dreieck FF^Fo, das hnlich EOG 

 ist, woraus folgt: 



8. FF^ : FyF^ = 1: FG =l:\[x{tl x). 



Andererseits ziehe man durch -F, die Parallele zu FG, die 

 den um D mit r gezogenen Kreis in //, trifft, whrend FG 

 diesen Kreis in // schneidet, ferner ziehe man iliH.y 

 senkrecht zu FG. Dann erhlt man ein zweites unend- 

 lich kleines Dreieck HH^H.^, das HDG hnlich ist, woraus 

 folgt: 



4. , H^ : HH^ = HG : r = \x (2 r x) : r. 



Multiplicirt man nun 3. mit 4., so kommt, da HiH.2= FiF., 

 ist, die Proportion : 



5. FF^ HH^ = / V2^^^ 



Sn- 



X. 



Den aus 5. folgenden Wertli von /-'F, setze man in 2. ein. 

 Dann kommt: 



