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Naturwissenscbaf'tliclie Wochenschrift. 



XI. Nr. 12. 



sind, so sind sie es auch in den inneren Organen und 

 nicht minder in den Instinliten, beziehungsweise in den 

 hheren Seelenanlagen. Wir wissen, dass die Abstufun- 

 gen einer Gesetzmssigkeit folgen mssen. Kein Forscher 

 wird sich dabei beruhigen, dass es Individuen giebt, die 

 etwas grsser sind als der Durchschnitt und solche, die 

 unter dem Dnrchschnitt bleiben, oder dass manche Indi- 

 viduen eine bessere Sehsciirfe besitzen als andere, oder 

 dass beim Menschen die Befhigungen ausserordentlich 

 verschieden sind. Das denkende Geschpf will wissen, 

 wie die Grssenstufeu sich innerhalb der Grenzen des 

 Abnderungsspielraums vertheilen, wie die Seh- 

 schrfen und die geistigen Fhigkeiten sich hinsichtlich 

 der Hutigkeit ihres Vorkommens veriialten. 



Den Biologen ist es bis jetzt nicht gelungen und 

 wird es wegen der mikroskopischen Kleinheit der For- 

 schungsgegenstnde anch in Zukunft nicht so bald ge- 

 lingen, die Gesetze abzuleiten, nach welchen sich die 

 individuelle Abnderung vollzieht, und darum knnen jene 

 auch ber die Vertheilung der individuellen Grade keinen 



die Vertheilung der 

 Anfschluss geben. Der letztere Punkt ist jedoch fr 

 einen Forscher anderer Art, fr den Mathematiker, nicht 

 unzugnglich. Auf alle Flle hngt die Beschaeuheit 

 der einzelnen Orgaue sowohl 

 von der Art und Weise ab, 



als der ganzen Individuen 

 wie die kleinsten Bestand- 

 theile derselben combinirt sind. Dem Mathematiker wird 

 daher die Vermuthung nicht ferne liegen, dass die Ge- 

 setze der Combinationslehre, welche unter anderem 

 auch ber die relative Hutigkeit jeder einzelnen Com- 

 bination Aufschluss geben, hier Geltung haben drften, 

 und zwar ganz unabhngig von der Vorstellung, die man 

 sich von der Natur der kleinsten Theile selbst bilden 

 mag. Es drfte sich daher lohnen, einen Versuch anzu- 

 stellen, ob die sogenannte Gauss'sche;Wabrscheinlichkeits- 

 formel mit den beobachteten Thatsachen ber die Ver- 

 theilung individueller Flle im Einklang steht und wenn 

 ja, ob sieh durch ihre Anwendung einige Einblicke ge- 

 winnen lassen. 



Die Gauss'sche Wahrscheinlichkeitsformel. 

 Das Gesetz, nach welchem sich die Hutigkeit des Vor- 

 kommens der einzelnen Flle regelt, beruht im Wesent- 

 lichen darauf, dass diese um so seltener werden, je weiter 

 sie sich von der mittleren Beschaffenheit entfernen, und 

 dass demnach die mittlere Bescliaftenheit zugleicli die am 

 hutigsten vorkommende ist. Die von Gauss herrhrende 

 Formel, deren theoretische Ableitung wir hier bergehen 

 mssen, lautet: 



y=Ye 

 In dieser Formel bezeichnet 



h'x- 



X den Betrag der Ab- 



weichung vom Mittel, y 



Fig. 1. 



Die (,iauss*8clie. Walirsclieiiilicli 

 keits-Ciirvc. 



die verhltuissmssige Hufigkeit 

 des Vorkommens dieser Abwei- 

 chung (das ist die Wahrschein- 

 lichkeit"), Y die Hufigkeit des 

 mittleren Werthes, e die Basis 

 der natrlichen Logarithmen, 

 /* den sog. Prcisions - Coeffi- 

 cienten, welcher bestinmit, ob 

 die Hufigkeit mit der Entfer- 

 nung vom Mittel rascher oder 

 langsamer abninnnt. Die Grsse 

 e ist also eine ein- fr alle- 

 mal feststehende Constante, Y 

 die fr die verschiedenen An- 

 wecliseln knnen, 

 dass nach dieser Formel im All- 

 Entfernung vom Mittel die 

 rascher abnehmen 



und // sind Constanten, 

 Wendungen der Formel 

 Mau erkennt leicht, 

 gemeinen mit wachsender 

 Hufigkeit des Vorkommens 

 muss. Noch deutlicher wird dies, wenn man die Formel 

 so schreibt : 



immer 



y- 



Y 



h'x- 



Fig. 2. 



Wahrsc'heinlichkt'itscurven, links 



fr verschiedene Werthe der C'on- 



stanten }', rechts fr verschiedene 



Werthe des Coefficienten h. 



Im Nenner dieses Bruches steht eine mit dem Wachsen 

 von X in beschleunigtem ^laasse zunehmende Grsse. 

 welche den Bruch selbst, d. h. den Werth von //, immer 

 kleiner macht. Durch Beispiele von Zinsesziusrechnuugen 

 und durch die bekannte Anekdote vom Schachbrett mit 

 den zu verdoppelnden Getreidekrnern sind auch uicht- 

 mathematische" Kreise in das Anschwellen von Potenzen 

 eingeweiht: hier haben wir aber nicht eine einfache Po- 

 tenzirung von x, sondern das potenzirte x selbst bestimmt 

 den Exponenten einer zu potenzirenden Grsse. Darnach 

 lsst sich ermessen, mit welchem raschem Tempo die 

 Hufigkeit bei wachsender Entfernung vom Mittel ab- 

 nehmen muss. 



Die Wahrscheiulichkeitscurve. Das Gesetz 

 der Wahrscheinlichkeitsformel lsst sich durch eine gra- 

 phische Darstellung anschaulich machen. Trgt mau die 

 Abweichungen vom Jlittel auf 

 der Abscissenaxe beiderseits 

 vom Nullpunkte auf, die zuge- 

 hrigen Werthe von y als (rdi- 

 nateu, so erhlt man die soge- 

 nannte Wahrscheinlichkeitscurve 

 (Fig. 1). Dieselbe besitzt fr 

 den mittleren Werth ein Maxi- 

 mum, einen Gipfel, von dem an 

 die beiden symmetrischen Arme 

 sich schrg nach unten wenden 

 und, immer mehr nach aussen 

 biegend, asymptotisch neben 

 der Abscissenaxe herlaufen. Die 

 Constante I' ist maassgebend 

 dafr, ob sumitliche Ordinaten 

 in der Zeichnung nach einem gleichen Verhltnisse 

 grsser oder kleiner werden sollen, wogegen die Con- 

 stante /( den Charakter der Curve in der Hinsicht beein- 

 flusst, ob die Krmmung am Gipfel und beim Auswrts- 

 kehren der beiden Arme mehr oder weniger scharf sein 

 soll. In Fig. 2 ist auf der linken Seite der Mittellinie 

 die Gestaltsvernderung der Curve fr verschiedene 

 Werthe der Constanten Y und auf der rechten Seite fr 

 verschiedene Werthe des Coefficienten A versinnlicht. Die 

 strker ausgezogene Curve ist die nmliche, wie in Fig. 1. 



Die von Beobachtungen abgeleitete Hufig- 

 keitscurve. Zeichnet man eine Curve fr messbare oder 

 sonst genau feststellbare Eigenthmlichkeiten einer Anzahl 

 von Menschen, z. B. fr die Krpergrsse Wehrpflichtiger (in 

 dem man in dieser x\n- 

 wendungdieGrssenals 

 Abscissen, die Hufig- 

 keit des Vorkommens 

 als Ordinaten auftrgt), 

 so erhlt man Curven, 

 welche der Wahr- 

 scheinlichkeitscurve 

 sehr hnlich sehen, 

 und zwar um so mehr, 

 je grsser die Zahl 

 der Beobachtungen ist. 

 Nur eine wesentliche 

 Abweichung bleibt fr jede noch so grosse, aber immerhin 

 ))egrenzte Zahl bestehen: die Curve hat die Abscissenaxe 

 nicli t zur Asyuiptotc, sondern luft bei den Grenzpunkten 



sodass eine geschlossene 

 Nebenschlich ist die Verlegung des 

 Abscissen aus dem Innern der Figur 

 wie dies iu Fig. ') dargestellt ist, als 



Ililuliglicitscurve fr eine hef^ren/.te Zahl be- 

 obachteter Einzellalle. 



der Beoijachtuugen in jene ein, 

 Figur entsteht. 

 Nullpunktes der 



nach ansscrhall). 



