XI. Xr. 12. 



Naturwissenschaftliche Woclienscbrift. 



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eine Folge davon, dass wir bei unseren Untersuchungen 

 nicht die Abweichungen von einem Bttel, sondern den 

 Betrag von einem Punkte an zu erheben pflegen, der lauter 

 positi\'e Werthe fr x ergiebt. Wenn wir also die 

 Gauss 'sehe Formel auf die Huflgkeit individueller Flle 

 in der Biologie anwenden wollen, wozu uns die Aehnlich- 

 keit der Curven berechtigt, so mssen wir zwei Aende- 

 rungen eintreten lassen, nmlich 1. die ausserordentlich 

 kleinen Ordinaten der Gauss'schen Curve bei ihrer An- 

 nherung an die Abscissenaxe als praktisch gleich Null 

 ansehen, und 2. eine Coordinatenverschiebung vornehmen, 

 indem wir in die Formel statt x den Werth von x a 

 einsetzen, worin a den Abstand des jetzigen Nnlli)unktes 

 vom frheren, also in Fig. 3 die Strecke PM bedeutet. 

 Die Wahrscheinlichkeitscurve passt alsdann nicht bloss 

 auf Krpergrssen, sondern auch auf Brustumfnge, Kopf- 

 Indices und andere vorkommende Werthe. Vergegen- 

 wrtigen wir uns, dass die geistige Begabung eines 

 Individuums von der Beschaffenheit seines Gehirnes ab- 

 hngt, welches aus einer Ungeheuern Zahl einzelner, der 

 Combination unterworfener Elemente besteht, .so wird 

 wenig dagegen einzuwenden sein, dass wir auch die Ver- 

 theilung der menschlichen Begabungen dem Gauss'schen 

 Gesetze folgen lassen. Zum Ueberflusse hat Francis 

 Galton den Nachweis gefhrt, dass beispielsweise die 

 Abstufung der Prfungsnoten bei den berinnten Mathe- 

 matik-Prfungen der Universitt Cambridge dem fraglichen 

 Gesetze folgt, und er hat noch eine grosse Zahl von Er- 

 wgungen, gesttzt auf Erthrungsthatsachen, beigefgt, 

 wodurch die Richtigkeit der Annahme mindestens sehr 

 annehmbar gemacht wird. 



In Fig. 3 bedeutet U die untere Grenze der indivi- 

 duellen Variationen, die obere Grenze derselben, also 

 UO den von der natrlichen Auslese verschonten Ab- 

 nderungsspielraum, von dem in dieser Abhandlung 

 die Rede sein wird. PU bedeutet allgemein den ge- 

 ringsten Strkegrad, der in der Beobachtungsreihe vor- 

 kommt, PO den hchsten Strkegrad, Pil/deu mittleren 

 Strkegrad. Der am hufigsten vorkommende Strke- 

 grad PH fllt wegen der symmetrischen Gestalt der 

 Gurve mit dem mittleren Strkegrad Pil/ zusammen, eben- 

 so der durchschnittliche Strkegrad PD, welcher dem 

 arithmetischen Mittel aus smmtlicheu Beobachtungen ent- 

 spricht und in der Figur dadurch ausgedrckt ist, dass 

 die ber dem Punkte 1) errichtete Ordinate die von der 

 Curve und der Abscissenaxe eingeschlossene Flche 

 halbirt. Mit anderen Worten: die mittlere, die hu- 

 figste und die durchschnittliche Strke decken sicli 

 in dem vorliegenden Falle. 



Trgt man, wie es in der Regel geschieht, als Ordi- 

 naten fr gleiche Abscisseniutervalle nicht die unmittelbar 

 beobachteten absoluten Hufigkeitsziffern auf sondern 

 die aus denselben berechneten pro centualen, so ent- 

 spricht die Summe aller (rdinaten, welche in der Zeich- 

 nung durch die Gesammtflche der geschlosseneu Figur 

 versinnlicht wird, der Zahl 100. Da dies fr jede pro- 

 centuale Darstellung zutreffen muss, werden wir zweck- 

 mssig der angegebenen Regel folgen und uns stets 

 procentuale Darstellungen zu Grunde gelegt 

 denken, um den Vorthcil zu haben, dass die 

 Flche bei allen Gestaltsvernderungen der Curve die 

 nmliche bleibt: es muss dann an einer Stelle 

 immer soviel Flchenraum hinzutreten, als auf einer 

 anderen wegfllt. 



Asymmetrische Hufigkeitscurven. Die empi- 

 rische Hufigkeitscurve zeigt im Allgemeinen eine symme- 

 trische Gestalt, wie dies der Gauss'schen Formel ent- 

 spricht. Galton hat berall, wo er die Formel anwandte, 

 auf die Symmetrie der Curvenste hingewiesen und aus 



der Thatsache bestimmte Folgerungen gezogen. Es ist 

 mir jedoch bei meinen Untersuchungen bisweilen be- 

 gegnet, dass die Vertheilung der Flle ber Mittel eine 

 andere war, als unter Mittel, somit die Hufigkeitscurve 

 nicht symmetrisch ausfiel, und zwar ohne dass diese Un- 

 regelmssigkeit Bcobachtungsfehlern zugeschrieben werden 

 konnte. So bildet in meinem Buche ber die Gesell- 

 schaftsordnung" die Einkommenscurve, die auch eine em- 

 pirische Hufigkeitscurve" ist, augenscheinlicii auf der 

 oberen Seite eine weiter ausgezogene Spitze, als auf der 

 unteren, wo die negativen Einkommen nothgedrungen 

 sehr bald bei ihrem grsstmglichen Betrag ankommen. 

 Es ist mglich, aber nicht bestimmt zu sagen, dass auch 

 die Begabungscurve ber Mittel weiter ausgestreckt ist, 

 als unter Mittel, weil hier sehr verschieden wirkende 

 Krfte mitspielen. Diese Erwgungen haben mich dazu 

 veranlasst, die Mglichkeit des Vorkommens asymme- 

 trischer Wahrscheinlichkeifscurven in Betracht zu ziehen, 

 und ich bin zu folgenden Erwgungen gelangt: Wird in 

 der Gauss'schen Formel die Grsse I' oder der Coef- 

 ficient h, oder werden beide in irgend einer Weise ab- 

 hngig von .r, dann entsteht eine asymmetrische Curve. 

 Y und /( knnen aber auf verschiedene Weise von x ab- 

 hngig werden. Einnial dadurch, dass die Fruchtbar- 

 keit sich mit x ndert, dass also die Vermehrung der 

 Individuen auf der einen 

 Seite des mittleren 

 Werthes grsser ist, als 

 auf der andern. Dann 

 muss die Curve von 

 Generation zu Genera- 

 tion auf der einen Seite 

 an- und auf der andern 

 abschwellen, sodass sie 

 ihre Symmetrie verliert. 

 Der endlich erreichte 



Fig. 4. 



Asymmetrische Hu6gkeitscurvc. 



Beharrungszustand muss eine asymmetrische Curve er- 

 geben. Eine asymmetrische Curve wird ferner entstehen, 

 wenn aus irgend welchen Ursachen Keimesvariationen 

 in grsserer Zahl und in strkerer Abweichung nach der 

 einen, als nach der andern Seite entstehen, was Weis- 

 m a n n mit dem Namen G e r m i n a 1 - S e 1 e k t i o n " bezeichnet 

 und in einer krzlich erschienenen Schrift nher behandelt 

 hat. Diese beiden Flle sind Spezialflle, welche ich 

 zunchst bergehen mchte, um sie bei spterer Gelegen- 

 fnr sich zu errtern. Ein dritter Fall ist der, dass die 

 Plus- und Minus- Varianten zwar gleich hufig und in 

 gleichem Abstnde vorkommen, auch die Fruchtbarkeit 

 die nmliche ist, jedoch die natrliche Auslese an 

 der oberen und an der unteren Grenze des Abnderungs- 

 spielraumes verschiedenartig eingreift. Diesen am 

 hufigsten vorkommenden Fall mssen wir vor allem 

 lietrachten, ehe wir daran denken knnen, auf jene 

 verwickeiteren Umstnde einzugehen. In der vorstehen- 

 den Fig. 4 ist eine solche asynunetrische Curve dar- 

 gestellt. Bei derselben ist der verschonte Abnderungs- 

 spielraum VO von gleicher Ausdehnung angenommen, 

 wie oben in Fig. 3. Dov Sciieitel der Curve ist jedoch 

 nach links geickf. Der Punkt .1/, d. h. der mittlere 

 Grad zwischen den beiden Grenzen behauptet noch 

 seinen frheren Platz, die grsstc Hufigkeit H fllt 

 jedoch nicht mehr mit ihm zusammen. Ebenso ber- 

 zeugt man sich schon durch das Augennmass, dass 

 die durchschnittliche Strke, d. h. der Punkt D, dessen 

 Ordinate die Flche der Figur halbirt, weder mit il/, noch 

 mit // zusammenfallen kann, sondern zwischen beiden 

 anzubringen ist. Fr diejenigen Bcobachtungsreihen, 

 auf welche diese Curve passt, gelten daher folgende 

 Stze: Hufen sich die Flle in der unteren Hlfte des 



