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Natuiwisscnscliaftliche Wocheuschiift. 



XI. Nr. 31. 



Fr H=l lautet die Antwort ofleubar: auf j)^ Arten. 



Fr ^ 2 leitet Lucas*) die Lsung- auf fols'endcm 

 Wege ab: Um die Anzahl der den Bedingungen des 

 Problems entsprechenden Aufstellungen zu linden, hat man 

 von der Anzahl der berhaupt mglichen .Stellungen die 

 Anzahl der verbotenen abzuziehen, d. h. der Aufstellungen, 

 bei denen sich beide Damen angreifen. Die Anzahl der 

 mgliehen Aufstellungen von zwei Steinen auf einem 

 jJ-'-feldrigeu Brett ist 



1) 



2/~ 2 



die Anzahl der Aufstellungen, bei denen sich die beiden 

 Damen angreifen, ist nun oflenbar gleich der halben An- 

 zahl der Zge, die eine Dame berhaupt auf dem Brett 

 ausfhren kann; denn wenn sich zwei Damen angreifen, 

 so kann jede auf das Feld der anderen ziehen, und umge- 

 kehrt, wenn zwei Damen so stehen, dass jede auf das 

 Feld der andern ziehen kann, so greifen sie sich elien 

 an. Lucas berechnet die Anzahl der Zge, die eine 

 Dame ausfhren kann, indem er die Bewegungsmglich- 

 keit der Dame aus der des Thurnis und der des Lufers 

 zusammensetzt; er findet so als Anzahl der mgliehen 

 Zge einer Dame 



-p{p^l)ibp-l). 



Also ist die Anzahl der verboteneu Aufstellungen 



die Anzahl der Aufstellungen von zwei Damen, die sich 

 nicht angreifen, ist also 



^p2 Q,2 _ 1) _ i_ ^j Q, _ 1) (5j, _ 1) 



= -Qp iP 1) (3i'' + 3j> lOjj + 2) 



= ^PiP-^){p-2)iBp-l}. 



Mit Rcksicht auf den Zweck dieses Aufsatzes, die 

 Fortfhrung der Untersuchung ber den Fall h = 2 hin- 

 aus, soll zunchst dies Resultat auf einem anderen Wege 

 abgeleitet werden. Denken wir uns das Schachbrett in 

 eoacentrisclic Rnder eingetlieilt; dann stehen, wie man 

 sich leicht l)erzeugt, der Dame auf allen Feldern eines 

 und desselben Randes g-leich viele Zge zur Verfgung. 



Fr gerades p giebt es ^Rnder; der usserste Rand 



hat ip 4 Felder; jeder folgende hat 8 Felder weniger 

 als der vorhergehende; der x-te Rand enthlt also 



Ap-\-i 8 v Felder, der innerste, ~ te, folglieh 4 Felder. 



Auf dem ussersten Rande greift die Dame ^p 3 Fel- 

 der an, nudich p 1 vertical als Thurm, p 1 hori- 

 zontal als 'l'hurm und p 1 diagonal als Lufer; auf 

 jedem Rande beherrscht sie 2 Felder mehr als auf dem 

 vorhergehenden, auf dem r ten Rande also ?>p 5 -|- 2 r 

 Felder, Die Anzahl der Zge, die die Dame berhaupt 

 ausfhren kann, ist demnach 



*) Theorie des nombres, I, 1891, S. 'J8; rccreations matli- 

 matiquos, IV, 18!)1, S. 132. 



]] (4^j -4- 4 - 8 r) (:6p 5 + 2 1-) 



:2;(42J-4-4)(3i; 5) + ( 24j; + 40+8jJ + 8)v-16v2} 



'=1 



= (122;2-8iJ-20)|- 

 -I- (- \^p + 48) ^^-^ i - 16 ^ ^^ 4 r 



3^j-2) 



= '-^i^ {^f - ^P - 15 3jj2 + 3^; + 18 



2 



= ^P{^P- ^P^^) 



= |-i>(/^-l)(5j;-l). 



Fr ungerades p giebt es - -^ - Rnder; auch hier hat 



der usserste An 4 Felder, und jeder folgende 8 Felder 

 weniger als der vorhergehende, der vte also 4h + 4 Sv 



Felder; dies gilt aber nur fr r = 1, 2 . 



P 



; denn 



der 



P + 1 

 te Rand hat 8 Felder, der innerste, ^^ te 



jedoch 1 Feld, also nur 7 Felder weniger; er ist bei 

 der Summatiou nicht einzuschliessen, sondern besonders 

 zu bercksichtigen. P"'r die Zgezahl auf dem v ten 

 Rand gilt dasselbe wie bei geradem ;; die Anzahl der 

 Zge, die eine Dame auf dem ^^-'-feldrigen Brett {p unge- 

 rade) ausfhren kann, ist also, da sie vom Mittelfeld aus 

 Ay 4 Felder beherrscht, 



4i; 4 + 2 (^1' + * - 8^') ^^I' - 5 + 2^) 

 =1 



:4p 4 + {12p' 8p 20) ^^1 



P- 



( lG2; + 48)^ 



1 111 

 2 



16 



p 1 J5 -f- 1 



2 



^2^ 



6 



= -3- (/> - 1) iV - 6^ 15 3^;2 + 6j> +<J irp + 6) 



= ^^p{p-\){bv~\). 



Also ist in beiden Fllen die Anzahl der verbotenen 

 Stellungen 



-]^p{p-\){bp-\). 



Dies ist das von Lucas auf anderem Wege erhaltene 

 Resultat; das hier eingeschlagene Verfahren ist fr n = 2 

 nicht das einfachste, aber es ist das einzige, das nicht 

 auf diesen Kall zugeschnitten, sondern der Verallge- 

 meinerung fhig ist. 



Will man die Untersuchung ber den Fall n = 2 

 hinaus fortsetzen, so stsst man zunchst auf erbebliche 

 Schwierigkeiten, indem die ver))tenen Stellungen nicht 

 mehr unter einem Collectivbegrifl zusannncngefasst werden 

 knnen. Es soll im Folgenden die Lsung der Autgabe 



