XI. Nr. 31. 



Naturwissenscliaftliche Wochenschritt. 



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gcf^cbcn werden, die Anzahl der Aufstclluni;-en von drei 

 sich nicht aufgreifenden DamcH auf dem ^/"-feldrigcn Brett 

 als explicite Function von p darzustellen. 



Drei Damen lassen sich auf dem ^^^-feldrigen Brett 

 berhaupt auf 



'^^^vHr-Dir 



2) 



Arten aufstellen. Hiervon ist die Anzahl der verbotenen 

 Stellungen zu subtrahiren. Diese zerfallen in drei Klassen : 



1. Es greifen sich zwei Damen an, aber keine die 

 die dritte. 



2. Eine Dame greift die zwei andern an, diese ein- 

 ander aber njcht. i i 



3. Jede Dame greift die l)eidcii andern an. 



Wenn P die Anzahl der .Stellungen bezeichnet, in 

 denen keine Dame eine ndere angreift, und die erste, 

 zweite, dritte Klasse f/j, U^, U^ Stellungen umfasst, ist 



(1) P+ U, + U, + U, = ^ f (!>' - 1) iir - 2). 



Wenn es gelingt, idrei weitere unabhngige lineare 

 Gleichungen fr P, Ui, fo, U-j aufzustellen, lsst sich P 

 daraus berechnen. 



Zwei sich nicht angreifende Damen lassen >sich, wie 

 oben angegeben wurde, auf 



p(p-l){p-2){5p^l) 



Arten aufstellen. Wenn man auf einem beliebigen der 

 |j2 2 freien Felder eine dritte Dame aufstellt, so sind 

 unter den 



~pXp-V (P- 2) (3p 1) {f - 2) 



auf diese Weise entstehenden Stellungen enthalten: 



1. Die P Stellungen der gesuchten Art, und zwar 

 jede dreimal, da ja jede Dame als dritte betrachtet 

 werden kann. 



2. Die verbotenen Stellungen der ersten Klasse, und 

 zwar jede zweimal, da jede der beiden sich angreifenden 

 Damen als dritte gelten kann. 



3. Die verbotenen Stellungen der zweiten Klasse, 

 und zwar einmal. 



Also haben wir die Gleichung 



(2) 



dP + 2U, + U, 



l){p'-2). 



Eine dritte Gleichung erhalten wir durch Betrachtung 

 der Doppelzgc", d. h. der Mglichkeiten, in zwei Zgen 

 von irgend einem Felde des ^/--feldrigen Schachbretts aus 

 auf irgend ein anderes zu gelangen. Wenn man eine 

 Dame einen Doppelzug ausfhren lsst, so liegen die 

 drei von ihr eingenommenen Felder so, dass das eine 

 die zwei anderen angreift; diese greifen sich an oder 

 nicht; alle Flle, in denen sie sich angreifen, sind sechs- 

 fach gerechnet, da jedes der drei Felder als erstes be- 

 trachtet werden und berdies der Doppelzug von dem 

 Anfangsfelde aus in zweifacher Weise ausgefhrt werden 

 kann; alle Flle, in denen sich das Anfangs- und End- 

 fcld' nicht angreifen, sind offenbar doppelt gerechnet. 

 Die halbe Anzalil der Doppelzge ist also := il^ -{- BU^. 

 Um nun die Anzahl der Doppelzge auf dem 2J--feldrigen 

 Brett durch p auszudrcken, sind zwei Flle zu unter- 

 scheiden, je nachdem p gerade oder ungerade ist. 



Wenn p gerade ist, theileu ,wir die Doppelzgc in ^ 



Arten ein, je nachdem das von der Dame nach dem 

 ersten Zuge eingenommene Feld auf dem ersten, zweiten, 



. . ., ^ten Rande liegt. Wenn es eines der 4j> -H 4 8v 



Felder des rten Randes ist, kann der erste Zug von 

 jedem der 3^^ h-^2v Felder ausgehen, die das Feld 

 angreift; fr den zweiten Zug stehen nur 3j> 6 -I- 2v 

 Felder zur Verfgung, da das Feld, auf dem die Dame 

 ursprnglich stand, nicht wieder betreten werden darf; 

 also ist 



V. + ^U, 



= \Yi ^^^' ~ 5 + 2r) (3y> 6 + 2r) (4/> +4 - Sp) 



" v=l 



2 



= 2 ^^^' 5 + 2 v) (32J 6 + 2 V) (2jj + 2 \v) 



v=l 

 V 



= 2|(3i>-r.)(3^.-6)(2/. + 2) 



-^(2 (3;^ 6) (2iJ + 2) + 2 (3^j 5)(2]> + 2) 



-4(3i--5)(3iv-6))v 



-f-(- 8(3y> - 5) 8(3j; G) + 4(2yj -4- 2))r- 16 r'} 



= (31? - 5) (3i; - 6) (2iJ 4- 2) -|- 



P iP 



+ ( 12/j'- + 112^^ 164) 



2 \2 



+ 1 



2 



. (_ 40jj + 96) ^^-^ ~ 16 



fd'^-r 



(3'') l\+ 3 1/3 = ^2/^(672^3 - 180/j- + \mp - 36). 



(2) + (3'^) 2-(l) giebt 



3P + 2I7i +1/. +f/, -^ 3[/3 2P - 2^1 2V<,-2U^ 

 = P+U, 



= 4f (6ij5 20ji' + ^r' + 36/j- - mp -h 8 + 67 p 

 1 - _ 180^;- + 146 j; - 36 ip" + 12/ - 8jp) 



= _Lp {2p _ 20 pi -I- Sbifi 144 j/- + 102 p 28). 



P ist also durch L3 ausgedrckt und es ist zur Berech- 

 nung von P nur Lg zu bestimmen. 



"Ehe wir dazu bergehen, wollen wir die Berechnung 

 der Zahl der Doppelzge fr ungerades p nachtragen. 



V 1 



Es ist hier die Summe von r = 1 l)is v = ^ ^" 



strecken und das dem Mittelfeld entsprechende Glied hin- 

 zuzufgen. Also 



t/2 + 3t^ 



2 , 



= ^(p 5 + 2v)(32; r> + 2') (2// + 2 8v) ' 



V 1 



-^(4p-4){4p-b) 



