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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



XI. Nr. 31 



= {Sp-b){-diJ-6){2p + 2)'--, 



1 



+ ( 12j)2 _(- n2p 164) -^- 

 p 1 +l 



+ (- 40p + 96) g-? 



+ (2p - 2) (4i> 5) 



1) (67ij3 



p 1 p + 1 



2 ' 2 



2 



(^,_1)2 (p + l)2 



16 



113/- + 33iJ 3). 



^)* Sp^ + 28p2 82J + 67 /j" 

 113/>2 -I- 33j, -3 _ 4^5 _ 4pi -+- 8f + 8 p'-) 



= ^(P 1) (2p 18p* + 672J - 77 tr + 25p 3). 



C'3 lsst sich nun durch geometrische Erwgungen 

 auf folgende Weise berechnen: fi'g ist die Anzahl der Auf- 

 stellungen, bei denen sich je zwei der drei Damen an- 

 greifen. Dies tritt in folgenden vier Filllen ein: 



_! I I I 



I I 



Flg. 1. 



I .. I 



.1 I 

 Fig. i. 



Fig. 2. Fig. 3. 



1. Die drei von den Damen eingenommenen Felder 

 liegen auf derselben Horizontalen oder Verticalen (Fig. 1). 



2. Die drei Felder liegen auf derselben Diagonalen, 

 wobei unter Diagonale" auch jede Parallele zu einer der 

 beiden Hauptdiagonalen verstanden wird (Fig. 2). 



3. Die drei Felder bilden ein rechtwinklig-gleich- 

 schenkliges Dreieck', dessen Hypotenuse auf einer Dia- 

 gonalen liegt (Fig. 3). 



4. Die drei Felder bilden ein rechtwinklig-gleich- 

 schenkliges Dreieck, dessen Hypotenuse auf einer Hori- 

 zontalen oder Verticalen liegt (Fig. 4). 



Es mge Fl, Fo, F^, V^ Stellungen der vier Klassen 

 geben; dann ist 



U, = V, + V, + V,-hV,. 



1. Da es p Horizontal- und p Verticalreihen giebt, 

 deren jede p Felder hat, und da auf jeder drei Damen sich 

 auf 



)^!^^^ 



1)0' -2) 



Arten aufstellen lassen, ist 



Vr 



.2p 



. p{p-\){p-2) 



= yp'(p- 



1) {P - 2) 



2. In der Richtung von links oben nach rechts unten 

 und von links unten nach rechts oben giebt es je 2p 1 

 Diagonalen, deren eine p und je zwei p 1, jJ 2, . . ., 

 2, 1 Felder enthalten. Auf einer Diagonale von v Feldern 

 lassen sicli drei Damen auf 



;;w|. (.-!)(. -2) 



Arten aufstellen; also ist 



V-i 



2 -g- p iP 



P~i 



l)ip-2)+i.-^'^v{v-l){v-2) 



= ^PiP- 



1 , 



^){p 



i)(p. 



2)-+- 

 2) 



v = l 



.1 p 1 



3i'--t-2r) 



2 /(p-l)V o (p-l) p(2p-l) (P-1) P\ 

 y( 4 ^ ^6 + ^ 2^-j 



= -^PiP- 



l)(p---3jj + 2) 



-^jj{p-lf(p- 



2). 



3. Je zwei auf einer Diagonale liegenden Punkten 

 entsprechen zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke, 

 deren Hypotenuse der Abstand dieser Punkte ist; also 



2 ^i 2 



{p-l)p{2p l) {p l)p\ 



F, 



2pip~-l)-h4 



=^^pip-i){2p-l). 



6 



2 



4. Wenn man auf einer Horizontalen oder Verti- 

 calen zwei Felder whlt, so entsplicht ihnen, wenn ihr 

 Abstand durch eine ungerade Zahl ausgedrckt wird, 

 kein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, dessen Hypote- 

 nuse von ihnen begrenzt wird. Wenn ihr Abstand durch 

 eine gerade Zahl ausgedrckt wird, so entsprechen 

 ihnen ein oder zwei Dreiecke der erwhnten Art, je 

 nachdem ihr halber Abstand grsser oder nicht grsser 

 ist als der Abstand der Reihe von der ihr zunchst 

 liegenden, parallelen Reihe des usseren Randes. 



Es sei zunchst p gerade; dann giebt es je zwei 

 Horizontalen und je zwei Verticalen, die vom Rande be- 



zieliuugsweise die Abstnde 0, 1, 2, . . ., t, 1 haben. 



Jede Reihe hat p Felder; es lassen sich also, wie man 

 leicht einsieht, zwei den Abstand 2, habende Punkte 

 auf jeder Reihe auf p 2|u Arten bestinnnen. Wenn 

 man nun die Reihe betrachtet, die den Abstand r vom 

 Rande hat, so entspricht allen ft > v ein Dreieck, allen 

 jw < V zwei Dreiecke. Die Anzahl der Flle, denen zwei 

 Dreiecke entsprechen, ist also 



1 



= ii = 



v = u 



4(p-l)2^'-42^' 



V:^0 



= 4(p-l) 

 1 



(!}-')! ,(l -)!<"-'> 



p{p-l){p-2). 



