XI. Nr. 31. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Die Anzaiil der Flle, denen 1 oder 2 Dreiecke ent- 

 sprechen, zusammen ist g-leicli tler Anzahl der mglichen 

 Stellungen zweier Damen auf derselben Horizontalen 

 oder Verticaleu in geradem" Abstnde, also 



VS (/'--'/') 



|i = i 



2p 

 1 



G(i-)-.'^^) 



l\ ist also gleich diesem Ausdruck, vermehrt um die 

 Anzahl der Flle, denen noch ein zweites Dreieck ent- 

 spricht; also 



y, = 'lpHp-2)+~p(p 



= ^V ip-2){bp-2). 



1) il^ - 2) 



Fr ungerades p gestalten sich die Rechnungen etwas 

 anders, da es je vier Horizontalen und Verticalen im 

 p 3 



Abstand 0, 1, 

 p-1 



-, dagegen nur zwei im Abstand 



2 



vom Rande giebt. Die Anzahl der Flle, denen 



zwei Dreiecke entsprechen, ist also 



2 



P-1 

 2 



42 ^{p-2n)-h2'^(p-2ny, 



V=l (1=1 |i=l 



die Gesammtzahl der Lsungen beider Flle ist 



^-1 



2p^{p-2i,y, 



also 



R=i 



P-3 

 2 



p-l 



^^4 = 4 20' 1' - ( V + D) 4- {2p + 2)2 iP - 2/') 



v=l ^=1 



p 3 p 1 p 3 p 1 



Af i\~2 2^ r^ 



= 4(p 1) ^ 4 



(P - 2) 



[2p^2)\p' 



2 



Fr gerades p ist also 

 ?7, 



Vx + V^ + V^ + T^ 

 = -.if{p~ V)(p 



1 



2)+^^'(/'-l)'(/'-2) 



+ \ r (/^ - 1) (2p - 1) + \v {V -2) (5j5 2) 



1 

 2 



= :ij(p + 23"-5p + 2). 



P = _yj (2p5_20/>^-H 85^)^-144/^+ 102;> 28) - r/3 

 = ^ P (2;*^ 20p-'-l- 79/;-' 150ij2^_ 132;. -40) 



P = ^p{p- 2)-' (2/^ - I2p^ + 23/, - 10). 

 Fr ungerades /) ist 



[/j = r, + T'o + F, + r, 



= \p- (J^ - 1 ) (? - 2) + -J- V(V- !)' (/^ - 2) 



-Hy P (P - 1) (27' - 1) + g- ?^ (/) - 1) (-V - ') 

 = YP(p-l)(p' + 2iJ-3) 



= yp0j-1)-0' + 3). 



^ = 4(1*- ')(-/' 18/''+C72r' 77/)2-|-25/.-3) -[.'s 



12 



12 



(/j I)(2p5-18p*+61j3^ 8%j2_,_43^j_3) 



/"= ^ (/> - I) (/ - 3) (2yB^ - 12/' + 25/,^ - 14/, + I). 



Die Aufgabe, die Anzahl derjenigen Aufstellungen 

 von drei Damen zu berechnen, bei denen keine eine andere 

 angreift, ist hiermit gelst. Wie schon von vornherein 

 zu erwarten ist, enthlt der Ausdruck fr gerades p die 

 Linearfactoren p und p 2, fr ungerades p die Factoren 

 p 1 und p -3; denn auf dem 0-, 1-, 4-, 9-feldrigen 

 Brett giebt es keine Lsung der Aufgabe. 



Die im Vorhergehenden angewandte Methode, die 

 verbotenen Stellungen, je nach der Anzahl der Damen, 

 die sieh angreifen, in Klassen einzutheileu und eine hin- 

 reichende Anzahl von linearen Gleichungen abzuleiten, lsst 

 sich auf die Flle m=4 u. s. w. ausdehnen; mindesteus 

 eine Klassenzahl wird wohl immer direct zu berechnen 

 sein; doch nimmt die Schwierigkeit dieser Berechnung mit 

 wachsendem n nicht wesentlich zu ; denn fr w >- 5 giebt 

 es gar keine Stellungen mehr, in denen sich je zwei 

 Damen angreifen, ausser wenn alle auf derselben Geraden 

 stehen; dieser Fall ist aber leicht zu erledigen. Es wird 

 immer nur darauf ankommen, ganze Functionen von p und v 

 nach V zu sunmiiren; es treten dabei nur ganze Functionen 

 auf; hieraus folgt natrlich unmittelbar, dass die Anzahl 

 der den Bedingungen des Problems entsprechenden Auf- 

 stellungen von n Damen (w bezeichnet eine gegebene 

 Zahl) auf dem 2*- - feldrigen Brett (/* ist vernderlich) eine 

 ganze rationale Function 2Hten Grades von p ist; denn 

 die Anzahl der mglichen Aufstellungen von n Damen auf 



dem /.--feldrigen Brett ist r ), also eine ganze Function 



2Hten Grades von f\ wre die Zahl der erlaubten Auf- 

 stellungen von hherem Grade, so gbe es fr hinrcicliend 

 grosses 7. mehr erlaul)te Aufstellungen als mgliche. 



