XI. Nr. 39. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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ich (liii^-c^'cn iuis zwei Gctu.ssun mit je lU sulcliuii Kii.:;i'lii 

 einen oi>iclzug', so durf ich mir beiderseits die Kui;eln 

 von 1 bis lU (nicht von 1 bis 20) numerirt denken und 

 Iviiun dann paarweise ziclm: entweder Nr. 1 rechts mit 

 Nr. 1 links, oder Nr. 1 mit Nr. 2 oder ebenso weiter und 

 schliesslich Nr. 1 mit Nr. l; ebenso gut aber auch Nr. 2 

 rechts mit Nr. 1 links, oder Nr '2. rechts mit Nr. 2 links, 

 oder Nr. 2 mit Nr. o, auch Nr. 2 mit Nr. l, desgleichen 

 Nr. o mit jeder Nummer von drben u. s.w. Wir sehen: 

 es tritt nicht etwa zu jeder Kugel der ersten Urne eine 

 Kugel der zweiten hinzu, durch Addition, sondern zu 

 jeder Kugel auf der einen Seite kann jede Kugel der 

 anderen Seite hinzutreten; jede anfnglich vorhandene 

 Kugel wird gleichsam so oft vervielfacht, als neuerdings 

 Kugeln dazugekommen sind, hier also verzehnfacht 

 durch Multiplication. Danach sind die Kugcipaare, die 

 mir berhaupt in die Hnde gerathen knnen, 10 X l, 

 das ist lUO an Zaid. Wie viele aber von diesen ber- 

 haupt mglichen Fllen sind mir gnstig, d. h. in wie 

 vielen dieser 100 Paare findet sich wenigstens Eine weisse 

 Kugel, wenigstens Ein weisser Halbzug-y 



Nehmen wir au, beiderseits sei die weisse Kugel mit 

 Nr. 1 bezeichnet. Dann wird jede der 10 Verbindungen, 

 welche die Nr. 1 von der einen Seite mit der anderen 

 Seite eingehen kann, mindestens Einmal AVeiss enthalten; 

 das giebt 10 gnstige Flle. Ausserdem trifft jede der 

 schwarzen Kugeln (Nr. 2 bis Nr. 10) in ihrer ebenfalls 

 zehnfachen Verbindung mit drben Einmal auf eine 

 weisse Gesellschafterin; macht noch 9 und zusammen 

 also 19 gnstige Flle. Oder Nr. 1 von rechts giebt 

 10 gnstige Paare, Nr. 1 von links giebt auch 

 iO gnstige Paare, nur dass davon eins bereits da war, 

 (nndich Nr. 1 links mit Nr. 1 rechts); das macht wieder 19. 

 Sonach ist das Maass der Wahrscheinlichkeit", eine 

 weisse Kugel zu ziehn, weder i/n, d. i. i^/mn, noch '^/^^ 

 d- i- "%oo) sondern ^Vioi und das entgegengesetzte, nur 

 lauter schwarze zu ziehn, ist *"/ioo (die Wahrscheinlich- 

 keit, lauter weisse zu ziehn, ist Vi^o, die, mindestens Eine 

 schwarze zu ziehn, ''Vion)- 



Die verhllte Zukunft, die erst nur in 10 Felder ein- 

 getbeilt war, wurde diesmal noch weiter zerlegt, indem 

 jedes der Felder wieder weitergetheilt ward, aber nicht 

 in Hlften sondern in Zehntel. Von diesen lOO Feldern 

 gehren 19 unserm Glck, 81 unserm Unglck; soll auf 

 jedes eine Mark eingesetzt werden, so setzen wir 19 und 

 unser bser Dmon setzt 81 Mark. Es ist eine Wette 

 von 19 gegen 81 unsererseits, von 81 gegen 19 wider 

 uns. Woher nun diese rthselhaften Zahlen? Denken 

 wir lans das bei einem einzigen Zug aus einem zehn- 

 kugeligen Gcfss bevorstehende Schicksal als einen (juer- 

 liegenden Streifen, zehnmal so lang als breit und in die 

 bekannten lO Felder eingetheilt, wovon das Eckfeld links 

 fr weiss gilt, also uns gehrt. An diesen Streifen setzen 

 wir rechts nach unten einen gleichen Streifen an, dessen 

 oberstes Feld mit dem rechten Eckfeld des ersten Streifens 

 zusannnenfllt, und dessen unterstes Feld wieder fr weiss 

 gilt; dieser Streifen birgt die Zukunft des zweiten Zuges. 

 Ergnzen wir dieses Gebilde zu einem Quadrat mit zchn- 

 theiliger Seite, so zerfllt dieses in 100 Quadratchen, die 

 zusammen das Gesammtschicksal eines Doppelzuges aus- 

 machen. Von dem grossen Quadrat bilden aber die 



9 schwarzen Felder oben und die 9 schwarzen rechts 

 wieder die Seiten eines Theilquadrats von 81 Feldern, 

 whrend die brig bleibenden Streifen links und unten je 



10 weisse Felder, wovon eins gemeinsam, also 19 bilden. 

 Somit bedeutet hier 81 das Quadrat der Zahl der bei 

 einem Zug ungnstigen Flle, 19 die Ergnzung auf 100. 

 Wollen wir uns einen dreifachen Kugelzug aus drei Ge- 

 lassen veranschaulichen, so mssen wir uns jede der 



beim zweifachen Zug anzunehmenden lOO Mglichkeiten 

 mit jeder der lO Mglichkeiten verbunden denken, die 

 fr einen dritten Zug allein in Betracht kmen. Zu 

 diesem Zweck setzen wir auf demselben Eckfeld rechts 

 oben, das zum Uebergang vom einfachen in den doppelten 

 Zug gedient hatte, einen entsprechend zehntheiligen vier- 

 eckigen Pfeiler auf, dessen 9 untere Wrfel schwarz, 

 dessen oberster Wrfel weiss bedeutet, und l)ilden mit 

 dieser Hhe aus der vorliegenden Grundflche einen 

 Wiu-fel, dessen 1000 Wrfeltheilchen die snnntlicheu 

 Mglichkeiten des dreifachen Zuges enthalten. Ein Teil- 

 wrfel davon ist mit 9gliedriger Kante und 81glic(lriger 

 Seite, also mit 729 Wrfeltheilchen, als Vertreter der 

 snnntlichcn rein sciiwarzen Zge anzusehn ; das aus den 

 brigen 271 Wrfcltlieilchen gebildete Zelt als Vertreter 

 der smmtlichen mit weiss mindestens gemischten Zge. 

 Die Wette steht jetzt 271 zu 729, die Hoffnung auf Ge 



winnst, die erst nur Vio "der 



/lOOO) 



dann 



'','100 oder 

 '''7iooo war, betrgt jetzt -",:ooo7 ist also von 100 auf 190 

 und weiter auf 271 gestiegen. 



Wenden wir dies auf den Fall des Illfesuchens an, 

 so ist die Wahrscheinlichkeit, dass mich nicht nur Ein 

 Mitmensch zurckweist (was zu '7io anzusetzen war), 

 sondern dass zwei es thun, '*\'ioo; die Wahrscheinlichkeit, 



dass drei es thun, '""/uiuo- Ebenso die Wahrscheiulich- 



- ~- i'.i 



auf 



1,000.000' 

 43,046.721 



keit, dass mir von Zweien Einer hilft, '''/loo; dass von 

 Di'cien Einer hilft, '"^"/looo- I^h musste nur, dort wie hier, 

 das uns schon Ijckannte Verbltniss Vio das Maass der 

 sogenannten einfachen Wahrscheinlichkeit, mit sich selbst 

 multipliciren, um das der zweifach zusammengesetzten zu 

 erhalten: -'/lo X '7,o. geschrieben (Vlo)^ giebt ^'/i^o: der 

 Rest bleibt mir. Zur dreifach zusammengesetzten Wahr- 

 scheinlichkeit bedarf es einer nochmaligen Multiplication 

 mit 7i0) geschrieben (7iof, d. i. '-'Viooo- ^^^ Wahr- 

 scheinlichkeit also, dass meine Hoffnung fehlschlgt, sinkt 

 beim Einbeziehn von zwei statt Eines Menschen in meine 

 Absichten von 900 Tausendsteln auf 810, beim Ein- 

 beziehn von dreien auf 729. Dehne ich meine Ab- 

 sichten auf vier Menschen aus, so sinkt sie auf (7io)*> 

 , . 6561 , . .. .. ., ,, , . 59.049 , . , 

 ^' 10.000' ^ ""^ ' ' 100.000 ' ^ 



531.441 . . . , ^ 4,782.969 , . ,, 



bei sieben auf T^A,T7>7=vrrj oei acht auf 

 10,000.000 



innnnrwion' ^^^^ '" ungefhren Tausendsteln ausge- 

 drckt: von 729 auf 656, auf 590, auf 531, auf 478, 

 auf 430. Dehne ich den Plan immer weiter aus, so kann 

 ich diese Wahrscheinlichkeit um so kleiner machen, je 

 weiter ich gehe; und nur ussere Grnde, Mangel au 

 Zeit u. s. w., knnen mich verhindern , diese Wahr- 

 scheinlichkeit, die allerdings niemals Null wird, so klein 

 zu machen, dass sie praktisch nicht mehr in Betracht 

 kommt, und meine Erfolgshoffnung, die freilich niemals 1 

 wird, so zu vergrssern, dass sie praktisch so viel wie 

 eine Gewissheit ist. 



Was wir hier auseinandergesetzt, weisl uns kein 

 neues Handeln an; denn wir handeln bereits in der That 

 so, indem wir beharrlich vom Einen zum Andern gchn 

 und denken: Einer muss eben helfen." Sind wir nicht 

 so beharrlich, lassen wir schon nach 1 oder 2 Fehlgriffen 

 den Muth sinken, so fehlt's uns zunchst nicht an logischer 

 Einsicht, sondern an Muth oder Thatkraft; dann allerdings 

 kann uns jene theoretiseiie Belehrung zu neuen Versuchen 

 Kraft geben, aber dann waren wir eben praktisch unvoll- 

 kommene Mensehen, die sich erst durch die Theorie zeit- 

 weilig vollkommen machen Hessen und erst mittelst dieses 

 theoretischen Gewinnes wieder entsprechend handeln 

 konnten. 



