Nr. 23. 



Naturwissenscliaftliclie Wncliensclirift. 



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Die D u ts clio An t liro p ologeii-Vorsamm lung wird ilire 

 Sitzungen vom 6. bis 1"-'. September ablialten. 



Die 18 General - Versammln ng des deutseben 

 Ap oth ok er- Vereins findet vom 9. bis \2. September in der 

 Stadtlialle in Mainz statt. Mit derselben wird eine pharmacentiscbe 

 Ausstellung verbunden sein. 



Der 1. internationale Pbysiol ogen - Congress soll am 

 10. September in Basel tagen. 



Die Astronomische Gesellschaft tritt zu ihrer dies- 

 jhrigen Versammlung vom 10. bis 12. September zu Brssel im 

 Palais des Academies zusammen. 



Die 7. Hauptversammlung des Preuss. Medicinal- 

 beam ten- Vereins wird am 11. und 12. Septendjer in Berlin, 

 Klosterstrasse 3li, im grossen Hrsaal des Hygienischen Instituts 

 stattfinden. 



Die British Association for the Advancement of 

 Science hlt ihre h^. Jalu-esversammlung vom 11. bis 19. Sep- 

 tember in Newcastle-on-Tjne ab. Das Bureau befindet sich in 

 London W., Albermale Street 22. Prsident: Professor Flower. 



Fragen und Antworten. 



Nach welchem Gesetze sind die duadratzahleu gebildet, 

 die mit gleichen Ziffern endigen? wo findet man Litteratnr 

 hierber? 



Diese Frage ist von Morel und F. Hoft'mann in den Nou- 

 vellos Annales de Matliematiiiues" (2. Serie, Bd. 10) fr Quadrat- 

 zahlen behandelt worden, welche auf zwei gleiche Zift'ern 

 endigen; es ergiebt sich dabei, dass diese Zahlen in der Formel 

 (50 12, (m = 0, 1, 2, . . .), enthalten sind und dass die Null 

 ist natrlich ausgeschlossen bei Quadratzahlen die beiden 

 gleichen Endziffern 44 sind. .Jede Zahl, die auf zwei andere 

 gleiche Zift'ern endigt, kann also kein Quadrat sein. 



Nun entsteht natrlich die Frage, welche Quadratzahlen 

 endigen mit 3 oder mehr gleichen Ziffern V Hierber ist mir 

 nichts in der Litteratur ludiannt geworden. Die Saclie erledigt 

 sich aber ganz einfach. Offenbar knnen die Quadratzalilen mit 



3 gleichen Endziffern nur unter denen mit 2 gleichen Endzift'ern 

 gesucht werden, d. h. unter den in der obigen Formel enthaltenen 

 Zahlen. Ist ii eine solche Zahl, deren Quadrat auf 3 gleiche 

 Zittern endigt, so hat offenbar (;-500rfc"l' ebenfalls 3 gleiche 

 Endzift'ern, so dass man von den in der ersten Formel enthaltenen 

 Zahlen nur diejenigen, welche unter 250 liegen, daraufhin zu 

 untersuchen hat, ob ihr Quadrat 3 gleiche Endstellen besitzt. 

 Von den zu betrachtenden Zahlen: 12, 38, 62, 88, 112, 138, 1G2, 

 188, 212, 238 besitzt aber, wie die Rechnung zeigt, nur 38- = 1444 

 drei gleiche Ziffern am Ende, daher schliessen wir, dass sinmt- 

 liehe Zahlen, deren Quadrat mit 3 gleichen Stellen endigt, durch 

 die Formel m 500 38, (m = 0, 1, 2, . . .) geliefert werden. 



Jetzt erhebt sich wiederum die Frage, welche Zalilen die 

 Eigenschaft haben, dass ihr Quadrat auf 4 gleiche Stellen endigt. 

 Auf dieselbe Weise wie eben kann man schliessen, dass diese 

 Zalden in der Formel m 5000 =t n enthalten sein mssen, wenn n 

 irgend eine Zahl der verlangten Eigenschaft bedeutet. Oft'enljar 

 hat man daher nur nthig zu untersuclien, ob eine der durch die 

 Formel m 500 =t 38 dargestellten Zahlen, welche unter 2500 liegt, 

 auf 4 gleiche Zift'ern endigt; man hat also die Quadrate von 3i^, 

 42, 538, 962, 1038, 1462, 1538, 1962, 2038, 2462 zu bilden. Die 

 Ausrechnung ergiebt aber, dass keine dieser Quadratzahlen auf 



4 gleiche Ziffern endigt. Ich habe daher den Satz: 



Keine Q u a d r a t z a h 1 kann mehr als 3 gleiche End- 

 ziffern haben." 



Mit Hilfe dieses Satzes kann man hufig ohne weiteres ent- 

 scheiden, ob eine vorgelegte Zahl ein Quadrat ist oder nicht. 

 Mau kann aber noch weiter schliessen: gbe es eine vierte Potenz 

 (ein Biquadrat) (/', welche mit zwei gleichen Ziffern endigte, so 

 msste - eine Zahl von der Form m-.5012 sein. Diese Zalden 

 endigen smmtlich auf 2 oder 8. Nun giebt es aber bekanntlich 

 keine Quadratzahl, welche auf 2 oder 8 endigt, also kann es 

 auch keine 4te Potenz geben , die auf zwei (oder melir) gleiche 

 Zift'ern endigt Demnach erhalte ich den Satz: 



Die 4t<!, 8te , 2iite Potenz keiner dekadischen Zahl 



kann auf zwei (oder mehr) gleiche Ziffern endigen." 



Analoge Fragen lassen sich natrlich ebenso fr Cubikzahlen 

 auf'werf'en, und es ergiebt sich, dass ein Cubus auf beliebig viele 

 gleiche Zittern 1, 3, 7, 8 oder 9 endigen kann; doch ist mir keine 

 Formel bekannt, welche die Zahlen, deren Cubus auf gleiche 

 Zift'ern endigt, entsprecliend dem obigen darstellt. Dabei hat 

 man, wie leicht ersichtlich, nur diejenigen Zahlen zu unter- 

 suchen, deren Cubus auf gleiche Zift'ern 1, 3 <ider 7 endigt. Wie 

 sehr leicht ersichtlich und wie auch Brocard (a. a. O. Seite 188) 

 angiebt, endigen die Cuben der Zahlen jh-.50+14 auf 44. Man 

 kann dies aber niclit erweitern, denn eine einfache Rechnung 

 fhrt uns zu dem Satze: 



Es giebt keine Zahl, deren Cubus auf mehr als 

 zwei gleiche Ziffern 4 endigt." 



Entsprechende Stze lassen sich natrlich auch fr andere 

 Zahlensysteme als das dekadische ableiten, doch will ich darauf 

 nicht nher eingehen. Es sei der Herr Fragesteller nur noch auf 

 hnliche Eigenschaften der Zahlen aufiiu'rksam g(Mnaclit, welche 

 er in dem Archiv ilcr Mathematik und Physik (hr.sgeg. von Hoppe), 

 in der Zeitschrift fr mathemathischen und naturui.><seuschaft- 

 lichen Unterricht ( lIoH'iuann), in Schliiuiilch s Zeitscdu'ift fr 

 Mathematik und Physik, in den Nouvelles AnnalesdeiMatlu'inati((ues, 

 in Mathcsis" u. s. w. angegeben findet. A. Gutzmer. 



Litteratur. 



August 'Weisinann, ber die Hypothese einer 'Vererbung von 

 Verletzungen. Verlag von Gustav Fischer. Jena, 1889. 



Schon im .lahre 1883 hat Weismann sich gegen die Ver- 

 erbung erworbener Charaktere ausgesprochen und sucht imn in 

 diesem Aufsatz den Nachweis zu fhren, dass wenigstens die als 

 einziger directer Beweis fr die Lamark'sche Ansicht angefhrte 

 Vererbung von Verletzungen in Wirklichkeit nicht vorhanden ist. 

 Die Erscheinungen, aus denen man bisher auf das Stattfinden 

 einer solchen schloss, lassen eine ganz andere Deutung zu, sie 

 werden Ijesser als Vererbung von Bildungshennnungeu aufgefasst, 

 oder man kann nachweisen, dass bei einigen derselben die bei 

 dem Kinde auftretende Abnormitt der Verletzung seiner Er- 

 zeuger gar nicht entsprach. Weismann hat die Frage auch 

 experimentell geprft. Er hat Muse entschwnzt, und zwar 

 immer Mnnchen und Weibchen in allen auf einander folgenden 

 Wrfen, aber bis zur 5. Generation ist auch nicht eine einzige 

 schwanzlose Maus zum Vorschein gekommen. Der Autor hlt 

 damit die Frage nach der Vererbung erworbener Charaktere 

 zwar nicht fr gelst, glaubt aber, dass diese Theorie nur dann 

 von der Wissenschaft angenommen werden drfe, wenn die Er- 

 scheinungen der Bewegungen in der organischen Formenreihe sich 

 auf keine andere Weise erklren lassen. A. M. 



Siegmund Gnther, die Meteorologie ihrem neuesten Stand- 

 punkte gemss und mit besonderer Bercksichtigung geogra- 

 phischer Fragen. Mnchen. Theodor Ackermann. 1>!89. 



Seitdem die Meteorologie durch wenige, aber usserst wichtige 

 (iesetze eine feste Grundlage gewonnen hat, ist die meteorologisclie 

 Litteratur ganz betrchtlich angewachsen. Neben dem elementar 

 gehaltenen, ganz ausgezeichneten und wohlfeilen Klein'schen Leit- 

 faden bilden Mohn's klassische Grundzge und die grndlichen, 

 speciellen Zwecken dienenden Werke von Sprung, van Bebbcr und 

 Hann-Woeikow eine vorzgliche Buclditteratur, welcher sich eine 

 betrchtliche, mehr den Tagesfragen gewidmete Zeitschriften- 

 litteratur anschliesst. Die in der letzteren niedergelegten Beob- 

 achtungen und Aufzeichnungen l)ergen eine reiche Flle von Stoft', 

 dessen Sichtung eine mhsame uml fr den Anfnger absclireckende 

 Arbeit ist, welcher aber in den bekannten, zusammenfassenden 

 Werken noch keine Verwerthung gefunden hat. 



Dieser Arbeit liat sich nun der durch seine mathematischen 

 Werke, durch seine grndlichen Studien zur Geschichte der Mathe- 

 matik, und durch sein Werk ber Geophysik bekannte Verfasser, 

 Prof. Dr. S- (Gnther in Mnchen, unterzogen und die Ergebnisse der- 

 selben in dem vorliegenden Werke vertt'entlicht. Das ausserordent- 

 liche Geschick des Verf., das historisch-litterarische Moment in der 

 Darstellung zur Geltung zu bringen, liat sich auch hier wieder be- 

 whrt; es ist ein ganz ausserordentlich reiches Material, das Verf. 

 in seiner Meteorologie verarbeitet hat. Dass dabei in erster Linie 

 die deutsche Litteratur herangezogen wurde, ist natrlich, doch 

 wre in der marinen Meteorologie eine etwas weitergehende Be- 

 rcksichtigung namentlich der englischen Untersuchungen recht 

 wnschenswerth. 



Die Anlage des ganzen Werkes ist als sehr gelungen zu be- 

 zeichnen. In vier Hauptstcken und zwei Anhngen, die sehr 

 wohl als fnftes und sechstes Hauptstck betrachtet werden knnen, 

 behandelt der Verf. die allgemeinen Eigenschaften der Atmosphre 

 und deren Beobachtung, die Lehre von den Bewegungen in der 

 Atmosphre, die allgemeine Klimatologie, die specielle klimatische 

 Beschreibung der Erdoberttche, die praktische Witterinigskunde 

 und die meteorologische Optik; dem ganzen geht eine kurze Ein- 

 leitung voran ber Aufgabe und geschichtliche Entwicklung der 

 Meteorologie. Zur weiteren Charakterisirung des Werkes wollen 

 wir uns der Worte des Verf. bedienen: Als Leser denkt sich der- 

 selbe in erster Linie Studirende der Naturwissenschaften und der 

 Erdkunde, doch wnscht er auch Lehrern an hheren Bildungs- 

 austalten entgegenzukommen, welche ihre frher erworbenen 

 meteorologischen Kenntnisse wieder auft'rischen mchten, und ber- 

 haupt soll der Leserkreis keineswegs mit der Fachwelt im engeren 

 Sinne sich decken. Aus diesem Grunde ist von der Einfgung 

 mathematischer Betrachtungen und Formeln nahezu absolut Ab- 

 stand genommen worden. Dass hierdurch dem Autor manche 



