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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 3. 



sammelten Werke wurden von Heinrich Weber und 

 Dedekind zuerst 1S76 herausgegeben und liegen bereits 

 in zweiter Auflage vor. (Verlag von B. G. Teubner, 

 Leipzig.) 



Die grosse Wirkung, welche von Riemann ausge- 

 gangen ist und i'ortwiiiirend ausgeht, ist wie Herr 

 F. Klein in seinem Vortrage betont einzig eine P^'olge 

 der Eigenartigkeit und selbstverstndlich der ein- 

 dringenden Kraft seiner mathematischen Betrachtungen. 

 Durch seine eingehenden physikalischen Studien angeregt, 

 aufgewachsen unter Gauss und Wilhelm Weber, beein- 

 flusst von der Herbart'schen Philosophie, hat Riemann 

 immer wieder daran gearbeitet, in mathematischer Form 

 eine einheitliche Formulirung der smmtlichen Natur- 

 erscheinungen zu Grunde liegenden Gesetze zu finden. 

 Diese Untersuchungen liegen nur bruchstckweise vor; 

 es liegt diesen verschiedenen Anstzen die Annahme zu 

 Grunde, dass der Raum von einer continuirlich ausge- 

 breiteten Flssigkeit erfllt ist, welche gleichzeitig der 

 Trger der optischen, wie der elektrischen und der 

 Gravitatiouserscheinnngen ist. Wir tinden hier also die 

 Grundanschauung der Maxweirseheu elektromagnetischen 

 Lichttheorie vor. Der Vortragende betont, dass eben 

 hier die Quelle von Riemann's rein mathema- 

 tischen Entwickelungen liegt, es wird hervor- 

 gehoben, dass Riemann im Gebiete der Mathe- 

 matik und Faraday im Gebiete der Physik 

 parallel stehen, nicht nur in Bezug auf den quali- 

 tativen Inhalt der beiderseitigen Gedankengnge, sondern 

 auch in Betreff der Wichtigkeit der von beiden Forschern 

 erreichten Resultate. 



Am innigsten ist Riemann's Name mit der Functions- 

 theorie complexer Variabler verbunden ; denigemss wendet 

 sich der Vortrag auch in erster Linie dieser Thtigkeit 

 Riemann's zu. Es wird geschildert, wie bei der Betrach- 

 tung von Functionen einer zweitheiligeu Variablen x + yi, 

 mit der so gerechnet wird, dass man fr i^ allemal 1 

 eintrgt, die Eigenschaften der Functionen einfacher Va- 

 riabein in viel hherem Grade verstndlich werden, als 

 ohne solche Maassnahme. Riemann drckt dies so aus: 

 es tritt beim Uebergange zu complexen Werthen 

 eine sonst versteckt bleibende Harmonie und 

 Regelmssigkeit hervor. 



Zwar hat schon Gauss zahlreiche Entdeckungen in 

 diesem Gebiete anticipirt, ohne indessen etwas darber 

 zu vertt'eutlichen ; als eigentlicher Begrnder dieser 

 Theorie der Functionen complexer Variabein ist Caucliy 

 zu betrachten. Aber erst in Deutschland erhielt sie ihr 

 modernes Geprge durch die gleichzeitigen Bestrebungen 

 von Riemann und Weierstrass. AVhrend Weierstrass 

 die Functionen complexer Variabein analytisch durch die 

 Potenzreihen definirt, nach Mglichkeit geometrische Hilfs- 

 mittel verinei<let und die grsste Strenge der Beweis- 

 fhrung erstrebt, beginnt Riemann mit gewissen Differen- 

 tialgleichungen, denen jede Function f{x -\- iy) = h-+- iv 

 gengt. Die einzelneu Bestandtheile u und v der Func- 

 tion erscheinen dann als Potentiale in dem Gebiete 

 der beiden Vernderlichen x und //, so dass man Riemann's 

 Entwickelungen dahin bezeichnen kann, dass er auf 

 diese einzelnen Bestandtheile die Grundstze 

 der Potentialtheorie zur Geltung bringt. Sein 

 Ausgangspunkt liegt also auf dem Gebiete der mathe- 

 matischen Physik. Als speeifische Leistung von Riemann 

 hebt der Vorti-ag in diesem Zusammenhange die Tendenz 

 hervor, der Potentialtheorie eine grundlegende Bedeutung 

 fr die gesannnte Mathematik zu geben; sodann aber 

 auch die geometrischen Vorstellungsweisen. Es wird des 

 Weiteren besonders die Riemann'sche Flche charakterisirt 

 als das Mittel, um die mehrdeutigen Functionen einer 



complexen Vernderlichen in ihrem Verlaufe zu veran- 

 schaulichen und zu verstehen. 



Alle diese Hilfsmittel, welche Riemann von der physi- 

 kalischen Anschauung aus fr die Zwecke der reinen 

 Mathematik geschaffen hat, sind rckwrts fr die mathe- 

 matische Physik von der grssten Bedeutung geworden. 

 In besonders schner Art sind die Riemann'schen Vor- 

 stellungsweisen in der Theorie der Minimalflchen zur 

 Geltung gekommen. Diese letzteren Untersuchungen sind 

 erst nacii Riemann's Tode 1867 verffentlicht worden, 

 ziemlieh gleichzeitig mit den Weierstrass'schen Unter- 

 suchungen ber denselben Gegenstand. 



Herr Prof. Klein wendet sich nun zu der IIau])t- 

 bedeutung der functionentheoretischen Methoden Riemann's, 

 die zweifellos auf dem Gebiete der reinen Mathematik 

 liegt. Die Weiterbildung der reinen Mathematik", so fhrt 

 er aus, erscheint dem Fernerstehenden vielleicht als etwas 

 ganz Willkrliches, weil die Concentration auf einen von 

 Haus aus gegebenen bestimmten Gegenstand wegfllt. 

 Und dennoch giebt es einen Regulator, der in beschrnk- 

 terem Sinne innerhalb aller anderen Disciplinen wohl- 

 bekannt ist die historische Gontinuitt: Die 

 reine Mathematik wchst, indem man alte Pro- 

 bleme mit neuen Methoden durchdenkt. In dem 

 Maasse, wie wir die frheren Aufgaben besser 

 verstehen, bieten sich neue von selbst." Zu Be- 

 ginn seiner Laufbahn traten Riemann besonders drei Func- 

 tionsclassen entgegen: die algebraischen, die elliptischen 

 und diejenigen Functionen, welche mit der Gauss'schen 

 hypergeometrischen Reihe zusammenhngen. Die Rie- 

 mann'sche Leistung kann nun am krzesten dahin be- 

 zeichnet werden, dass er fr eine jede dieser drei Func- 

 tionsclassen ganz neue Resultate und neue Auflassungen 

 gefunden hat, welche bis heute fortschreitend die Quelle 

 nachhaltigster Anregung geblieben sind." 



Als einer isolirt stehenden functionentheoretischen 

 Untersuchung gedenkt der Vortrag auch kurz der Rie- 

 mann'schen Arbeit ber das Gesetz der Vertheilung der 

 Primzahlen innerhalb der natrlichen Zahlenreihe; es ist 

 dies ein Beispiel, wie merkwrdig die einzelnen Theile 

 der hheren Mathematik zusammenhngen, indem hier 

 ein Problem, welches in die Elemente der Zahlenlehre 

 zu gehren scheint, aus den Entwickelungen der feinsten 

 functionentheoretischen Fragen eine ungeahnte Frderung 

 erfhrt. 



Die brigen Arbeiten Riemann's gehren keinem zu- 

 sammenhngenden Gebiete an, wie diejenigen der Func- 

 tionstheorie, aber er gelangt darin zu bemerkenswerthen 

 Resultaten, und diese Einzeluntersuchungen lassen die 

 allgemeine Auffassung Riemann's erkennen; sie enthalten 

 zugleich das Arbeitsprogramm, das er auszufhren ge- 

 dachte. Die Theorie der Functionen stellt nur ein Bei- 

 spiel fr eine analoge Behandlung aller anderen physi- 

 kalischen Probleme dar, so dass es sich also um nichts 

 geringeres handelt, als eine systematische Neube- 

 grndung der Integrationsmethoden der Mecha- 

 nik und mathematischen Physik, eine Aufgabe, die 

 in letzter Zeit mit besonderem Erfolge in Angrifl" ge- 

 nommen worden ist. Riemann hat dies nur an einem 

 einzigen Problem eingehender ausgefhrt, nmlich in der 

 Abhandlung ber die Fortpflanzung ebener Luftvvellen 

 von endlicher Schwingungsweite, 1860. 



Es wird nun in dem Vortrage der Entwurf charak- 

 terisirt ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu 

 Grunde liegen". Auf Grund dieser Schrift habilitirte sich 

 Riemann 1854 im Alter von 28 Jahren. Die der Geo- 

 metrie zu Grunde liegenden Hypothesen haben besonders 

 durch Helndioltz die gebhrende allgemeine Beachtung ge- 

 funden; Riemann sucht die Eigenschaften der Dinge aus 



