N'aturwissciisihaftliehc Woeheusehri. 



Nr. 30. 



/ heisse der Bruch L dividirt durch -1. Natursemss 



der 

 als 



He 



au- 



kaun / nicht irrsser als 1 sein. ist XuU, weun 

 Zeitrauii) zwischen den beiden Zeitpunkten i^rsscr ist 

 das Maxininm der Lebensdauer eines Individuums der bc 

 tretlenden Lcbeusgeuossenschaft. 



V heisse der Vermehrunirstactor ^siehe oben' t'iir 

 beiden in Vergleich gezogenen Zeitpunkte. 



heisse der Durchsciinitt der Zahlen, welche 

 geben, wieviel Ahnen von jedeui am zweiten Zeitpunkt 

 lebenden Individuum am ersten Zeitpunkt gelebt haben. 



<'o. (?i . (Tj, ... bezeichne die Anzahl derjenigen 

 unter den A am trulieren Zeitpunkt lebenden Individuen, 

 von deren jedem am spteren Zeitpunkt beziehungsweise 

 0, 1, 2, ... Nachkommen leben, die am frheren Zeit- 

 punkt uoeh nicht lebten. 



7i,, /,, U. . . . bezeichne die Anzahl derjenigen unter 

 den 7. am frheren Zeitpunkt lebenden, und den spteren 

 Zeitpunkt auch noch erlebenden Individuen, von deren 

 jedem am spteren Zeitpunkt beziehungsweise 0, 1,2,... 

 Xachkommen leben, die am frheren Zeitpunkt noch nicht 

 lebten. 



'o- ^' ^i bezeichne die Anzahl derjenigen unter 

 den T am frheren Zeitpunkt lebenden, aber den spteren 

 Zeitpunkt nicht mehr erlebenden Individuen, von deren 

 jedem am spteren Zeitpunkt beziehungsweise 0, 1, 2, . . . 

 Xaehkommeu leben, die am frheren Zeitpunkt noch nicht 

 lebten. 



^' bezeichne die Anzahl aller am spteren Zeitpunkt 

 lebenden Nachkommen aller A am frheren Zeitpunkt 

 lebenden Individuen. 



Aus diesen Definitionen und Bezeichnungen 

 folgende Identitten als selbstverstndlich hervor: 



gehen 



A. T-- 



).) A. 



so erhalten wir: 



Ji / vir) = [(A- U-) l^ + (k- IV 1) /H J 



+ [A-. f, 4- (A--I)^ + ...]. 



nie in den runden Klannneru dieser Gleichung stehenden 

 , Coetticienten knnten auch bei gross gewhltem /. schliess- 

 lich negativ werden. Dies strt jedoch nicht die folgende 

 Beziehung : 



A = L-i-T. L = ). 



-1 = + ''l + <^3 -^ 



0= 'o -H '07 1 = h +Uy S = ' 4- f-Z, " * W. 



Hierzu gesellt sich: 



1) ^ r .4 = L -+- X 



2. Anzahl der Nachkommen, Hauptformel. 



Von den A am frhereu Zeitpunkt lebenden Indivi- 

 duen haben a^ gar keine Nachkommen, die am spteren 

 Zeitpunkt leben, a, haben gerade einen, n., gerade zwei, 

 3 gerade drei u. s. w. sidche Nachkommen, so dass es 

 scheint, als ob 



1 aj + 2 rto + 3 ag -f- 4 ((^ -| 



die Zahl T der am spteren Zeitpunkt letiendcn Nach- 

 kommen darstellte. Es ist jedoch daran zu denken, dass 

 bei der eben geschriebenen Summe jeder Nachkomme so 

 oft gerechnet ist, als er Ahnen hat. die am ersten Zeit- 

 punkt lebten. Die obige Summe ist daher nicht gleich 

 S, sondern gleich w-N. wo ir \gl. 1") der Durch- 

 schnitt der Zahlen ist. welche angeben, wieviel Ahuen 

 von jedem am zweiten Zeitpunkt lebenden Individuum 

 am ersten Zeitpunkt gelebt haben. Mit Benutzung von 1 

 erhalten wir also: 



r .4 = L 4- - [1 1 -I- 2 . ,/., + 3 (73 4 ] 



oder : 



2) vwA = ifL -}- [1 - fl, -t- 2 ., + 3 3 H ] 



Subti'ahireu wir diese Relation von der mit einem be- 

 liebigen Coefticienteu /. nuiltiplicirteu. selbstverstndlichen 

 Identitt: 



/. . A = f. [/, 4- /j + . . .J -f A- [/ + /^ 4- /, + . . .J, 



3) -1 (A-- nf)^[^A--u-)/ +^L-- ir- 1) /, + (A-- 



?)/. + ] 



-^[lc.t^-i-{k-l)t, + {k2)L + ..-], 



wo die Summandeu in den eckigen Klammern nur 

 soweit fortzusetzen sind, wie sie positiv bleiben. 

 Um die l^, /,, /, . . . t^, /,. t^, . durch die o "i- 

 . . ( 1) zu ersetzen, addiren wir noch die wegen 



/^ 



L 



identische Gleichung: 



0=ylC wi.) [Iq -f- ?! -f l> -+- 



und erhallen die Hauptformel: 



4) A (A- kw) <[{k tvX) a, H 



wo wieder die Summe soweit fortzusetzen ist. 

 wie die Summanden positiv bleiben. 



] - l [t -\-f^-\ J, 



(A- irX 1 1 (/, -i ]. 



3. Eine Hypothese und ihre Foh 

 o 



e n. 



Em aus der in 2 abgeleiteten Hauptformel 4) 

 Schlsse ziehen zu knnen, setzen wir jetzt voraus, dass 

 von den Zahlen 



1, ,., a^ 



(vgl. n 



die Zahl a^ die grsste sein soll. d. h. wir machen die 

 Hypothese: An einem beliebigen Zeitpunkt ist 

 die Anzahl derjenigen Individuen einer Lebens- 

 genossenschaft, von denen an einem beliebigen 

 spteren Zeitpunkt keine Nachkommen leben, 

 die nach dem ersten Zeitpunkt geboren wren, 

 grsser als die Zahl derjenigen Individuen, von 

 denen dann gerade ein nach dem frhereu Zeit- 

 punkt geborener Nachkomme lebt, und auch 

 grsser als die Zahl derjenigen Individuen, von 

 denen gerade zwei nach dem ersten Zeitpunkt 

 geborene Nachkommen leben, u. s. w. 



Kein Statistiker und kein Biologe wird die Zulssig- 

 keit dieser Hypothese bestreiten, wenn er an die bedeu- 

 tende Anzahl der im Kindesalter sterbenden Individuen 

 denkt und darauf achtet, dass die Hypothese nur verlangt, 

 dass (Jj grsser sein soll, als jede einzelne der Zahlen 

 (/j, 2? '^3! V nicht aber verlangt, dass ^ allein schon 

 grsser sein soll, als die Summe 



was wohl nicht immer zntreftend wre. Wegen der eben 

 ausgesprochenen Hypothese drfen wir nun in der Haupt- 

 formel 4) rechts vom Grsserzeichen (7^, statt , , a^^ auch 

 statt a.y setzen. Dann erhalten wir 



A (A- utv) < ffo [l^" "'^) -H (A- (r/ 1) -f ]. 



Hier steht in der eckigen Klammer eine um die con- 

 stante Diti'erenz 1 abnehmende arithmetische Reihe, deren 

 Anfangsglied A- w/. ist, und deren Endglied die Zahl 1 

 oder ein zwischen und 1 liegender echter Bruch ist. je 

 nachdem k / eine ganze Zahl oder eine gebrochene 

 Zahl ist. Im ersten Falle ist die Sunnne der arithmeti- 

 schen Reihe 



5-(A--H/)(A /-<- 1), 



I 



