Nr. 31. 1911. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XXVI. Jahrg. 391 



ist als im vorigen Falle. Für die zweite Gruppe 

 bildet die Zahlentheorie ein Beispiel. Die Theorie der 

 gewöhnlichen, z. B. der linearen Gleichungen kann 

 zur ersten oder zweiten Gruppe gerechnet werden, je 

 nachdem die Koeffizienten als diskrete Zahlen oder 

 als stetige Funktionen gewisser Parameter betrachtet 

 werden. Wo die Anschauung der Kontinuität nicht 

 wesentlich ist für Formulierung und Behandlung der 

 Probleme, stellt man diese zur Mathematik des Dis- 

 kreten und umgekehrt. 



Im allgemeinen haben die astronomischen Probleme 

 die Mathematik des Diskreten nicht hervorgerufen. 

 Während das Weltall aus Einzelteilchen — Atomen, 

 Korpuskeln, Elektronen — zusammengesetzt erscheint, 

 geht es stetig von einem Zustand zum andern über. 

 Da ein großer Teil der Naturwissenschaft sich mit 

 den Stellungs- oder den Zustandsänderungen befaßt, 

 wie Bewegung der Himmelskörper, Entwickelung eines 

 Tieres, so wurde die Kontinuierlichkeit in den Vorder- 

 grund der Anwendung der Mathematik auf physische 

 Probleme gestellt, und wir können im wesentlichen 

 nur im Gebiet der Mathematik des Kontinuierlichen 

 wirkliche Einflüsse der Astronomie zu finden hoffen. 

 Da die Astronomie mehr Jahrtausende alt ist als die 

 andern Naturwissenschaften Jahrhunderte, war sie es, 

 die die meisten der auch in den anderen Fächern 

 verwerteten mathematischen Prozesse ins Leben ge- 

 rufen hat. Fast die einzige sonstige Disziplin, die 

 noch Anstoß zu wichtigen mathematischen Theorien 

 gegeben hat, ist die Physik. Diese hat die Aufmerk- 

 samkeit auf gewisse Klassen partieller Differential- 

 gleichungen und auf die in der kinetischen Gastheorie 

 angewandten statistischen Methoden gelenkt. Ein 

 großer Vorteil der Astronomie ist die hohe Präzision 

 der meisten Beobachtungen und die Strenge ihrer 

 rechnerischen Theorien. So ist die numerisch voll- 

 kommenste Theorie auf dem ganzen Felde physischer 

 Wissenschaft zu jeder Zeit die Mondtheorie unseres 

 scheidenden Vizepräsidenten E. W. Brown. Indessen 

 ist die Mathematik des Stetigen nicht durch die 

 Astronomie oder durch andere Naturwissenschaften 

 ausschließlich geschaffen worden. In der Geometrie 

 haben die Tangenten- und die Flächensätze die näm- 

 lichen Prinzipien umfaßt und einige der gleichen Me- 

 thoden wie die astronomischen Probleme hervorgerufen. 



Es dürfte jetzt zweckmäßig sein, einige Augenblicke 

 vom Allgemeinen zum Besonderen überzugehen und 

 die der Mathematik seitens der Astronomie geleisteten 

 Dienste im einzelnen zu betrachten. Wir alle wissen, 

 daß die Erfindung der Infinitesimalrechnung einer der 

 bedeutendsten Fortschritte der Mathematik gewesen 

 ist. Sie wurde zuerst von Newton und später un- 

 abhängig von Leibniz begründet. Das Werk des 

 einen wie des andern reichte völlig zur späteren Weiter- 

 bildung dieser wichtigen Methode hin. Newtons 

 Ideen waren vornehmlich von der Betrachtung physi- 

 kalischer Vorgänge ausgegangen, wie man an seinen 

 Benennungen und Zeichen und an den Aufgaben er- 

 kennt, auf die die neue Theorie von ihm augewandt 

 wurde. Er sprach von „Fluents" und „Fluxioneu" 



und nahm die Zeit als unabhängige Veränderliche, 

 obwohl er wußte, daß letzteres nicht nötig war. An- 

 dererseits hat Leibniz die Terminologie der Geo- 

 metrie benutzt und scheint zu seinem Begriff der 

 „Ableitungen" durch die Betrachtung der Kurven- 

 tangenten gelangt zu sein. Diese Unterschiede ent- 

 halten zugleich einen inneren Beweis für die Un- 

 abhängigkeit der Entdeckungen von Newton und 

 Leibniz. 



Die Geschichte der Anwendung der Infinitesimal- 

 rechnung stellt einen der glänzendsten Erfolge mensch- 

 licher Geistesarbeit dar. Die Mathematiker waren 

 nun im Besitze einer neuen Methode von gewaltiger 

 Macht und größter Allgemeinheit, während die Ge- 

 setze der Bewegung und das Gravitationsgesetz die 

 Schlüssel bildeten, die ihnen ein neues Weltall er- 

 öffneten. Das Werk von Clairaut, d'Alembert, 

 Euler, Lagrange und Laplace ist eine Kette von 

 Triumphen. Diese Männer durchzogen mit der Be- 

 geisterung von Entdeckungsreisenden die Welten, die 

 Newton und Leibniz erschlossen hatten; mit La- 

 places W T erk glaubte man diese Entdeckungen für 

 größtenteils vollendet. Was man auch über den Ur- 

 sprung der Infinitesimalrechnung sagen mag, so muß 

 hier betont werden, daß ihre Weiterentwickelung zu 

 der umfassenderen höheren Analysis in dem auf die 

 Entdeckung folgenden Jahrhundert fast ausschließlich 

 unter dem Antrieb physikalischer und namentlich 

 astronomischer Probleme geschah. Man kann kaum 

 bezweifeln, daß die Analysis ihre jetzige hervorragende 

 Stellung in der Mathematik hauptsächlich ihrer An- 

 wendung in der Astronomie verdankt. 



Die Astronomie hat nicht nur der Analysis die 

 Beachtung der Mathematiker zugewendet, sie hat viel- 

 mehr oft auch die genaue Form bestimmt, die ihre Sätze 

 anzunehmen hatten. Betrachten Sie z. B. die ana- 

 lytischen Differentialgleichungen. Die fünf vorhan- 

 denen Methoden ihrer Auflösung — als Potenzreihen 

 einer unabhängigen Veränderlichen , als Potenzreihen 

 nach Parametern, als Grenzen von Gleichungen end- 

 licher Differenzen, durch wiederholte Annäherungen 

 und durch wiederholte Anwendung der Konstanten- 

 variationen — sind alle unter dem Drucke praktischer 

 astronomischer Arbeiten ersonnen und schon viele 

 Jahre erfolgreich verwertet worden, ehe man ihre volle 

 Berechtigung auf mathematischem Wege streng nach- 

 gewiesen hatte. Ein neueres Beispiel ist Hills Be- 

 handlung der linearen Differentialgleichung mit ein- 

 fach periodischen Koeffizienten, deren Eigenschaften 

 von ihm aus denen der Mondbewegung erschlossen 

 worden sind. Die mit einer unendlichen Zahl simul- 

 taner homogener linearer Gleichungen verknüpften 

 Aufgaben entsprangen gleichfalls Hills Mondtheorie. 

 Poincares Untersuchungen über das Dreiköiper- 

 problem führten zur Entdeckung vieler neuer Eigen- 

 schaften der Lösung von Differentialgleichungen. Die 

 Frage der Gültigkeit der in der Himmelsmechanik be- 

 nutzten Reihen, besonders für lange Zeiträume, haben 

 zu Studien über die Brauchbarkeit und die Eigen- 

 schaften gewisser Klassen divergierender Reihen An- 



