10 THE SATURNIAN SYSTEM. [§ 8 {(/) 



In order to reduce the preceding integrations to the forms of elliptic integrals, we may 

 assume 



sm ri = ™ , 



' COS I 



sin if' cos i = sin r!" = — , — ~ =75=,. 



These values o-ive 



D 



• 2 • 4pr 



snr u - 



2— (c + r) ._|_(,_i)» 



/■=[fo + r>" + (* — «fl(l — rin^rinV), 

 /o(o) = (? + »")" I 1 — sinZ U) sin2 ?') 



= ((? — r ) 2 [ cos2 </>' + sm2 r /2 cos 2 4 sin 2 </>'], 

 cos 2 4 cos 2 rj'o = cos 2 4 — cos 2 4 sin 2 rf 2 = cos 2 4 — cos 2 i Q (0) 



_ [(e +0 3 -(g — ^(g — i)' _ iQr(z — b) * 



• ? / 9 / 4 ■ 4 p r ((< — r)- (z — J) 2 



snr Ji 2 cos J « 2 cos 4 % = ^ — , \ 2 , , ,, 21 , , ^ , 



sin 2 ?/j cos 2 1^2 cos 4 u _ (p — ? - ) 2 (z — J) 2 



1— 'sin^"cos a t; _ [(Q + rf+(z-by](n + ry-> 



1(|2 m_ (|! w,_ 7 , f 1 __ 1 e 2 (r-e)(*-6) r 8ecg g 



t V V s H J J^ / 2 /» m 2 ( e _|_ r ) ^ [(0 + r) 2 -f (z — 6)-] J* cos 2 q> + sin 2 % cos 2 i a sin 2 <p 



r — q z — b y/(l — sin 2 ?/ 2 cos 2 1 2 ) Jp cos 2 qp -p sin 2 tfa cos 2 ?' 2 sin 2 qp 



e 2 (r _ e)(z _J) 



i 2 ) Jp cos 2 qp -|- sin- ^2 cos 2 t 2 sin 2 



Again, we have 



^ gi n 2 (/l _|_ (g _ 5)2 _ ^ _|_ (, _ b y_ ; .2 cos 2 y ^^ _ ^ cog2 y 



= (/20 + r cos 9) (/a, — r cos (/>), 



r 2 -p- (= — b) 2 — q r cos qp / 2 o — e r cos 93 _ 1 _ /ai + g 1 1 fx — Q 



r 2 sin 2 if -(- (z — A) 2 — /|, — r 2 cos 2 9 Z _/a) + r cos 9 /» — r cos V'' 



sm rj 2 cos ? 2 ^ 



_ v (= - *) 2 _ v c/a - '• 2 ) _ . //- 



1 — sin 2 IJ2 cos 2 4 = -jr 

 (272) 



./^=i: 



¥/»+*' 



1 — sin 2 IJ2 cos 2 4 = -j= — r- = sin 2 4 + cos 2 4 cos 2 ^'j 



