xlviii THE THEORY OF THE LONG INEQUALITY 



d 2 P. 



de 2 



cpp; 



de 2 



= 2aN l cos 2sr, .: log = 0-32723 -, 

 = 2aiVi sin 2et, .-. log = 1-96794, 



d?P 



a ' = aN s cos (■&■ + ©•'), .*. log = 0-43638 -, 

 dede 



d?P' 



a -r-j-: = aN 3 sin (sr + ■&'), .-. log = 0-28779 -, 



hence Xe = (+ o"-509 + o"-214 + o"-004) sin \ 

 + (2"-433 + l"-025 + 0"-722) cos X 



- 0"'293 sin 3X - o"-660 cos 3\ 

 = + o"-727 sin X + 4"-180 cos X 



- o"-293 sin 3X - 0"-660 cos 3X, 

 lie dR 2 $ 2 e dB L d (&B)\ 



f \b x e dR 2 



I { — ■ 



J t [ e de 



eS'nr = na / { — + 



e de de 



d 2 P 2 \ 1 



-^-j C0SX | 



(dP d 2 P 2 dP &PS . (dP d*I>l _dP dPP, 



w 2 sin l" \\de de 2 de de 2 J \ de , de 2 de de 2 



mm'nn'aa'jfdQ d?P 2 dQ' (PP 2 '\ . (dQ <fP 2 ' dQ' d?P 2 \ 1 



w 2 sin l" \\de' dede' de' dede') \de' dede' de' dede' J 



m' 2 n 2 a 2 ( (dP dP 2 dP' dP 2 '\ . „ (dP dP 2 dP" dP 2 \ x 1 



+ T , \ ~ sin 3X + r 1 + — ; t 1 cos 3X> , 



2eto 2 sml \\de de de de J \de de de de J J 



.-. eSin- - (- 2" -433 - l"-025) sin X + l"-320 sin 3X 

 + (0"-509 + 0"-214) cos X - 0"-586 cos 3X 

 = - 3"-458 sin X + o"-723 cos X 

 + l"-320 sin 3X - 0"-586 cos 3X. 

 The formula? for $V and eTsr' may be obtained from the above, by writing m'ria'e'QQ' 

 for mnaePP 1 and vice versa. 



ld 2 P 2 dQ' d 2 P 2 ' dQ\ 



a) sin 1 

 rnrrinriaa 



( Id 2 ^ dQ _ <PP; dQ\ . \ 



v »»»V ) \de'* de' de' 2 de') [ 



ld 2 P 2 dQ d 2 P 2 dQ'\ ( 



\d7 2 ~~de~' + ~d7 r ~de T ) cosX ) 



\ \dede de dede' de) I 



+ « s sinl" } • rffiP, dP d?Pl_ dP\ f 



^ \dede de dede' de ) J 



f {dP,, dg_ _ dPl dQ\ ■ \ 



_AV_) \de' de de' de') * mX ( 



. + 4eVsinl" ) (dP 2 dQ dP 2 ' dQ'\ [ 



{ + W^' + -dVd7) cosX ) 



