LXX1III 



til lste, 2den og 3die Art. Den sidste af disse Reductioner skeer ved en 

 Formel, som idet 



d cp 



f 



= nS 



(l-j-nsin 2 0) k 



fremstiller Relationen mellem n k , n k_1 , Ti\-i, II k - 3 , saa at ethvert n af 

 boiere Index udtrykkes ved de tre forangaaende af lavere Indices; men Re- 

 ductionen kaa ei skee yderligere end til de tre InJices k = 1, k = o, 

 k = — i, af lxvilke den forste giver Functionen af 5die Art, de to sidste 

 Functionerne af lste og 2den Art, Dette er som bekjendt grundet i , at 

 naar k = 1, vil det Led af Reductionsformlen, som indebolder n 1 , gaae 

 bort efterdi det findes multipb'ceit med 2 k — 2, livorfor man ogsaa liar 

 ladet II 1 constituere den tredie elliptiske Transcendent irreductibel til de 

 andre. Herved kan imidle/tid bemseikes, at idet det Led, som indebolder 

 II 1 , bortgaaer af Ligningen, vil denne vaere tilfredsstillet ved alle de ati- 

 dre, som baeve binanden indbyrdes, altsaa Ti 1 , eller efter den sasdvanlige 

 Betegnelse II, maa fremstille sig under den ubestemte Form §. Beatenunes 

 ber den sande Vasrdie paa saadvanlig Maade, erboldes n udtrykt deels ved 

 de elliptiske Functioner af lste og 2den Art, deels ved tre nye Transcen- 

 dentcr, indbefatfede sorn specielle Tilfaelde i Formen (1), nernlig de tre, 

 som fremkomme ved i (1) at samite Q = 1, Q = sin 3 (p, Q = sin* (p. 

 Sasttes i denne Formel successive n = — 1 og n = — c 2 , erboldes de ellip- 

 tiske Functioner af lste og 2c!en Art udtrykte ved 6 Integrate?, indbefat- 

 tede under Formen (1) ved at sastte successive Jog cos Cp og log A istcdetfor 

 (1 -f- B sl » 3 <P), °g tillige som for Q = 1, Q = sin 2 (p, Q = sin 4 (p. 



Disse Resultater, som allerede vise Stagtskabet mellem Formerne (1) 

 og (2), ere imidlertid kun indbefattede paa en speciel Maade under den al- 

 mindelige Reduclion af Formen CI), idet man beviser, at denne Form i alle 

 Tilfajlde kan udtrykkes 



1° ved forben bekjendte Functioner, de elliptiske med indbefattede; 



2° ved de tre nye Transcendeuter, sotn erboldes for 



Q = 1, Q = sin 2 q>, Q = ~— -— , 



1 -f- r sin- (p 



bvor r er en ny Parameter, der ligesom n kan va?re reel eller imaginasr. 



Disse tre Functioner knnne samlede fremstilles ved 



„ A 4- B sin 2 , , , d(p 



"frr^T ^T— lo S d + n sin 2 <p) 2= (3) 



1 4~ r s * n2 <P A 



