Den mathematiske Classc. 



Professor Ramus har forelagt Selskabet en Afhandling om Resten i La- 

 granges Raekke. Herved forstaaes den Storrelse r B , som giver: 



ffi-fa+f*f*<f^ Ta .^H da2 • I ;^3..-+ da n^ - • 1 . 2 ... w _ 1 + r »> 



hvor f og (p ere hvilkesomhelst Functioner og £ er den mindste Rod i Ligningen 



x = o -j- ?/y#. 



Forskjellige almindelige Udtryk for r„ lade sig finde, livis Rigtighed bagefter 

 proves derved, at de tilfredsstiHe Differentsligningen 



da"- 1 *1.2...n~ h n+1 



idet de tillige for en speciel Vaerdie af n gjore ovenstaaende Formel for fp 

 identisk, eller derved at de i det specielle Tilfeelde, hvor <p#=l, redu- 

 ceres til det bekjendte Udtryk for Resten r'„ i den Taylorske Udvikling for 



f(*+yy. 



r'n - 12 ^_ i />[<* + 2/(1-^)] . z«~*dz. 

 F. Ex. man har 



(-1)" r+" y=T, r' tf- 1 //• / [a+^ V::r Cl-2)]/.[ l- !/e wV ^y[a+e-" V/::r (l-2)l3i ' 

 n -1.2.;.(n-2).27iJ-n **{ &-» * 



hvor /. betegner den Neperske Logarithme. Det Udtryk, som Cauchy har givet 

 (M6m. de l'acad. roy. des sc. de 1'institut de France, T. VIII, pag. 133) , har 

 vel en reel Form, og afhaenger blot af en enkelt Integration, men er dog min- 

 dre simpelt, eftersom det indeholder explicite selve den sogte Rod /?. Ogsaa 

 haves folgende Udtryk 



n * ' (x — d) n - lJ x—a—ycpx.z'' 



idet n.F{x,y) betegner Coefficienten for ~ i Udviklingen af Fia + s^y) efter 

 positive og negative Potentser af «, efterat Functionen forst er bleven udviklet 

 efter stigende Potentser af y. — Den Form, hvorunder Laplace har frem- 

 stillet Lagranges Rsekke, giver ikke Anledning til nogen sa?regen Undersogelse 

 med Hensyn til Resten ; thi Laplaces Rsekke kan umiddelbart udledes af La- 



