4 C. J. MALMSTEN, 



En sadan generalisation af den Jacobiska satsen innehalles i Theor. I i denna af- 

 handling. I st&llet for att den forra, sasom redan ar namndt, galler eqvationssystemet 



dx: dxi : dx t : ............... dx H = X: Xi : Xt : ............... X x , 



sysselsatter sig det sednare med detta eqvationssystera: 



dxi : dy> : d<p* : ............... d<f n = 1 : Vi : V* : ............... V- ................................................ (3), 



der saval y>i, y> it ............... y> n som y 1( y 2 ............... V- aro funktioner af x, Xj., x 3 ............ x n . 



Det inses utan svarighet huru mycket generellare eqvationssystemet (3) ar an systemet (1). 

 For det speciella fallet 



sammanfalla de bada till ett. 



Narvarande afhandling sOnderfaller i 3:ne afdelningar. I den forsta framstalles det 

 ofvannamnda generella theoremet I. Vi deducera det fOrst sasom ett transformationsresultat 

 utur den berOmda Jacobiska satsen, och gifva sederrnera derpa ett annat mera direkt och 

 fristaende bevis, hvilket ar fullkomligt oberoende af den theorie du dernier mtdtiplicateur, 

 hvarpa det Jacobiska beviset hvilar. I theoremet II gifva vi en annan form at sainma 

 generella sats, ur hvilken vi afven deducera de tvenne theoremerna III och IV, hvilkas 

 vigt och betydelse for integreringen af hOgre ordningars differential-eqvationer utan sva- 

 righet inses. Sarskildt torde det tillatas oss fasta uppmarksamheten pa de utur dessa theo- 

 remer harledda korollarier, hvilka lara, att, om i allmanhet <p och -if aro funktioner af 

 x, y, y, y" ............ y { '~ l \ och man till, vare sig 



funnit n 1 forste integraler, den n:te aterstaende alltid reduceras till vanlig qvadratur, 

 fdr den forra sa ofta i <f icke fOrekommer y (n ~ !) och i y icke y (n ~ l \ och for den sednare 

 sa ofta (f blott ar en funktion af y ( "~ 2) och y (n ~ l} och i y icke forekommer y (n ~ 1 \ JACOBIS 

 forrnler lara oss endast i afseende pa 



att, nar V ike innehaller y ( "~ l \ n:te integralen till densamma reduceras till vanlig qva- 

 dratur. 



I den andra afdelningen sysselsatta vi oss mera specielt med integrering af differen- 

 tial-eqvationer af 2:dra ordningen. Ibland dessa har hittills 



varit kand sasom den enda allmanna form, hvars kompletta integrering icke beror pa an- 

 nat an vanlig qvadratur, sa snart en forste integral till densamma blifvit funnen. De ur 

 vara theoremer V och VI harledda korollarier visa, att samma markvardiga egenskap 

 afven i allmanhet tillkommer differential-eqvationerna 



