6 C. 3. MALMSTEN, 



P& det forra hade jag redan for langre tid tillbaka funnit en solution, som jag meddela- 

 de*) Professor A. SVANBERG, hvilken derefter i Nova Ada Regice Societatis Upsaliensis pa 

 ett belt och ballet annat satt verkstallde integreringen. Det sednare problemet framstal- 

 les bar, sa vidt jag vet, for forsta gangen, och leder till en differential-eqvation af 3:dje 

 ordningen, om hvars kompletta integrering man vid forsta paseendet icke gor sig sa sar- 

 deles stora forhoppningar. 



I den 3:dje och sista afdelningen behandla vi differential-eqvationer af forsta ordnin- 

 gen. Med tillhjelp af theoremerna IX och X, som omedelbart resultera ur de foregaende 

 V och VI, och hvilkas riktighet utan ringaste svarighet later verifiera sig, hafva vi inte- 

 grerat ett icke obetydligt antal sarskilta grupper af differential-eqvationer, hvilkas integra- 

 ler icke forut, stl vidt vi karma, hafva blifvit framstallda. 



En sedan lange kand method att integrera differential-eqvationer af forsta ordningen 

 bestar i differentiering. Man differentierar den gifna eqvationen , och erhaller pa sa satt en 

 eqvation af 2:dra ordningen. Om det da lyckas att till denna sednare finna en anruxn forste 

 integral an den, pa hvilken differentieringen blifvit verkstalld, erhalles den sokta generella 

 integralen genom eliminering af y mellan de tvenne salunda bekanta forsta integralerne. 



Det var pa detta satt, som CLAIRAUT' i Memoires de I' Academic des Sciences de Paris 

 1734 integrerade den sedermera under bans namn kanda differential-eqvationen 



y - *y' = 



och afven till andra analoga eqvationer, sasom 



y - 



y - 



y-Vl+y* = 



der forsta derivatan y ingar under implicit form, later denna method med fordel anvanda 

 sig. Men den ar dock inskrankt till de fall, der differentiations-resultatet blir af en sa 

 enkel form att Ja separation des variables ar mera i Ogonen fallande. 



Den utstrackning, som vi i theoremerna IX och X gifvit at denna method, bestar 

 hufvudsakligen deruti, att vi differentiera den gifna eqvationen icke for att underkasta 

 det erhallna resultatet en ny omedelbar integrering - - utan for att med dess tillhjelp 

 finna en passande integrations-faktor. Hvad sjelfva integreringen af qvadraturen seder- 

 mera angar, kan den ofta vara forenad med sa stora svfirigheter , att man val behofver 

 en pa forhand gifven visshet om att den maste lyckas, for att ej afsta fran forsOket att 

 verkstalla densamma. 



Da man erinrar sig hvilket ringa antal differential-eqvationer, der y forekommer 

 under en mera implicit form, man lyckats integrera, och da man tillika tager i betrak- 

 tande att flerfaldiga geometriska problemer just leda till eqvationer af sadan form, torde 

 de applikationer vi gjort af de oftanamnde theoremerna IX och X icke bdra anses utan 

 vigt och intresse. Med deras tillhjelp bar det lyckats oss integrera omkring 20 sar- 

 skilda klasser af differential-eqvationer, hvilkas integraler vi icke sett nagonstades fram- 

 stallde. Hvad de 6 forsta betraffar, innehalla de solutioner af lika manga geometrisku 



) Se Nov. Act. Reg. Societ Up*. Scr. III. Vol. I. 



