UNDERSOKNINGAR I HOGRE ALGEBRAN. 17 



ej far bortdividera annat an positiva faktorer d. v. s. att man skall dividera med +a , da 

 a ar positiv, men med a , da a a ar negativ. 



Formeln (17) undergar i detta fall naturligtvis ingen annan fOrandring an den, som 

 beror pa teckenombytena och den, som beror derpa, att hvarje b r utbytes mot (m r)a r i 

 funktionerna P n , P' n , P' n ---- 



Sedan STURM den 23 Maj 1829 infor Vetenskaps-Akademien i Paris hallit foredrag 

 ofver sin da nyss upptackta sats, det efter honorn sa kallade Sturmska theoremet, f5r- 

 medelst hvilket man alltid kan med full visshet bestamma liuru manga rotter till en eqva- 

 tion ligga emellan tvenne uppgifna numeriska qvantiteter samt visat detsarnmas anvand- 

 ning pa sarskilda exempel, ehuru utan att for sitt theorem framstalla nagot bevis, med- 

 delade ban kort derefter i Bulletin des Sciences Mathematiques, Physiques et Chemies det- 

 sainina annu utan nagot bevis. Sedermera framtradde flere bevis for denna sats, bland 

 hvilka vi vilja namna ett af ETTINGSHAUSEN infordt i Zeitscrift fur Mathematik und Phy- 

 sik och ett af CRELLE i trettonde bandet af hans journal, detta sednare ett af de full- 

 standigaste och fertraffligaste vi ofver denna sats ega. 



Samtidigt harmed uppstod naturligtvis den onskan att finna generella formen for 

 dessa funktioner. Detta problem lOstes forst af Professor SYLVESTER i London, hvilken i 

 en memoir, inford i femtonde bandet af London and Edinburgh Philosophical magazin 

 offentliggjorde sin solution, ocksa utan bevis. Den form, under hvilken han framstalde 

 dessa funktioner, ar foljande: 



F(x) = (x a)(x b)(x- c)(xd) .... (# g)(x K), 

 F(x) = 2(x-b)(x-c}(x-d} .... (x-g)(x-li), 



-d) .... (x-g)(x-K) , 



V m - f 2(a-bf(a-cf(b-cf .... (g-Kf , 



A /rt 



da TO ar polynomets gradtal, , , . . . . y vissa af x oberoende qvantiteter samt a, b, 



*B *4 * 



c, d, . . . . g, h aro varden, som gora polynomet noil. 



I en hOgst fortjenstfull af handling, infOrd i sjunde bandet af LIOUVILLES Journal 

 de Mathematiques ar 1842, framstallde STURM sjelf beviset for sanningen af dessa SYL- 

 VESTERS formler och dessutom en ny formel, uttryckande relationen mellan tre konseku- 

 tiva Sturmska funktioner. Denna formel ar naturligtvis den allmanna formen for eqva- 

 tionerna (2) i det fall att 



f(x} 

 och bar foljande utseende 



K. Vet. Akad. Handl. B. 2. N:o 4. 



