UNDEBSOKNINGAB I HOGBE ALGEBBAN. 21 



Enligt LAGBANGES method blifva vilkoren for gemensamma rOtter foljande: 



for en gemensam rot 



A=0; 

 for tva gemensamma rOtter 



eller 



for trenne gemensamma rotter 



' da m ' da* a 



eller 



^J. H ~~ \J . ~ . ' ~ -7~ ~~ \J 



da n dbl 



for r gemensamma rotter 



A ^o ^2.^0 - = o A '" (A " = Q 



* ' da m ' da 2 ' da'~' 



eller 



^4=0 = = d ''~ >An = 



Enligt BBIOSCHIS method ar den eqvation, som gifver de r gemensamma rotterna 

 antingen 



d r A n r dM n ,_! d r ^ B r _ 2 . v d r A n 



- ~ 



eller 



d r A,, r _. d r A n r _ 2 . v d'A > y d r A n 



-.' ^ --(-iH-i ,.., ^ + (-l)r- 



Redan forsta ogonkastet pa sa val LAGBANGES som BEIOSCHIS formler visar, att 

 dessa ej kunna vara reducerade till sin enklaste form, ty i sadan handelse skulle sa val 

 de bada serierna af LAGBANGES vilkors-eqvationer som afven BBIOSCHIS bada eqvationer 

 for de gemensamma rotterna vara med hvarandra identiska. Att ej detta kan vara han- 

 delsen, foljer ater deraf, att A n i allmanhet icke innehaller a m pa samma satt som b n och 

 saledes derivatorna af A n i afseende pa a,,, ej identiska med derivatorna af A n i afseende 

 p& b n . Den enklaste form, till hvilken dessa eqvationer kan bringas, ar den vi gifvit i 

 (19) och (20), ty der ingaende determinanter aro enligt det foregaende reduperade till 

 sadan form, att ingen ofverflodig faktor finnes i dern. Jemnfora vi eqvationerna (19) dels 

 i afseende pa dimensionen, dels i afseende pa antalet af determinanter i hvar och en at 

 dem med de Lagrangeska forrnlerna, finna vi, att de forra aro af betydligt lagre dimen- 

 sion an de sednare, ithy att alia de forra aro af graden (m + n-2r) samt i hvarje eqva- 

 tion endast en determinant, under det att den forsta bland de sednare innehaller en de- 

 terminant af dimensionen (m + n), den andra n stycken determinanter af dimensionen 

 (m + n-1), den tredje n(n 1) stycken determinanter, hvardera af ordningen (m + n 2) i 

 afseende pa dimensionen, den fjerde n(n l)(n 2) stycken determinanter af dimensionen 

 (m + n 3) etc. etc. den r:te n(n l)(n 2) .. . . (n r+ 1) stycken determinanter, hvardera af 

 dimensionen (m + n r+l). Jemfora vi ater koefficienterna i eqvationen (20) med motsva- 

 rande koefficienter i den Brioschiska eqvationen, finna vi den forras vara af dimensionen 



