UNDERSOKNINGAR I HOGRE ALGEBRAN. 



hvadan eqvationen (37) blir i fOrra fallet 



n+a n_ n+i 



fi \ 2 p 2 ff i ( i V-f-rPP 4-PP' _p'p \ 7? f i^zP 2 7? n 



\ 1J E*f-l + \ 1) V^- n-t, -! + 1 n f, n-l -I n-L -).) JC n + { L ) Z%,_ 1 ^' n+ i 



eller 



(38) Pn'Pn-l 



i det sednare ater 



eller 



(39) .............................. P:F n 



och saledes maste CAYLEYS formel modifieras sa, att den erhaller fdljande utseende 



(40) ........................ p. j p n _ 1 +( 



Den egenskap hos de Sturmska funktionerna, att, om man betraktar trenne konse- 

 kutiva, sa skola de bada yttersta hafva motsatta tecken for hvarje varde pa den variabla, 

 som gor den mellersta noil, hade redan STURM sjelf framstallt. Af formeln (40) foljer, 

 att denna vigtiga egenskap finnes afven hos de Cayleyska funktionerna F d. v. s. att denna 

 egenskap finnes annu, da divisor och dividend aro af hvarandra oberoende. Denna egen- 

 skap uppfanns forst af CAYLEY. 



Har anse vi vara skal att anfora hurusom formeln (37) egentligen ar algebraiska 

 sumrnan af tvenne andra formler, i hvilka serien J? n _ 1; R n , H n+i ersattes af serierna <f n -i, 

 <fn, <f n +i och V/ n _i, ifj n , Vn+i- Orn determinanten i venstra membrum af (23) utvecklas, 

 erhalles, sedan r, s, t blifvit utbytta mot (n-1), n, (n + 1) 



'n-l- (fn-l 



= 



eller 



och pa samma satt 



hvaraf 



(41)...'. - 



och 



= o, 



(42) -p> tt _ 1 +(^p l p n 



och, om den fOrra multipliceras med F(x), den sednare rned f(x), bildar badas summa 

 tydligen eqvationen (37). (Detta beror naturligtvis af sammanhanget mellan (23), (24), 

 (25), (26) och (27).) 



Af de bada sednare eqvationerna foljer afven, att, om y n+ i och if n+ i tagas som di- 

 vidender, <f n och y n som divisorer, sa erhallas i bada fallen samma qvot som da S n -i 

 divideras med E n , resterna blifva y> n -i, Vn-i- 



