DIFFERENTIAL-EQVATIONERS INTEQRERING. 75 



dy t dy _ (n m)y'* + f(r s - p)xy' (ns mr q)y] y" 

 dy ' dy y (pay - qy) 



eller, hvilket ar detsamma, 



- qy 



_ kd logy +l-d log (pxy - qy) 



dx 

 da man f6r korthetens skull slitter 



k q ns mr q ..................... 



l(p - q) = n - m ......................................................... (193) 



a = ns(l ?) mr(l - s) ................................................ (194) 



samt l&ter m, n, r och s vara s&dane, att de satisfiera 



- + - = - ...................... . (195) 



p a q 



Integra tions-faktorn blir saledes, pa grund af (103), 



M = (yJ (p x v l - qyJ 



och integralen 



Konst, =./ (yj(pxy - qy}' (dy - y'dx), ............................. . ...... (196) 



der p och q aro gifna genom formlerna (190) och (191) samt k och I genom form- 

 lerna (192) och (193). Att vilkoret (195) eller, hvilket ar detsamma, 



a (p - q) - pq = o 



icke ar nagot annat an vilkoret (181) finnes latt deraf, att, om man insatter de varden 

 som (190), (191) och (194) gifva pa p, q och a, man far identiskt 



a (p q) pq = (r s) (m n) (m s (m + 1)) (n r (n + 1)). 



Vi vilja nu sarskildt s&ka integralen f5r hvart och ett af de 4 fall da relationea 

 (181) ar satisfierad. 



Issta fallet: r = s. 

 I denna handelse finnes latt, att 



P = (1 -s)(m -n)\ 



q = -s(m-n} ( 197 ) 



k = o, 1= - 1, } 

 och integralen 



C dy y'dx fy'dx + (1 s)xdy ,, , 



Konst. = / y *, - = bg( 1 - s\xy +/)-/ ~, -- ^ r j -- -(198) 

 J (1 - s)xy' + sy ' y J) J (1 - s) ay' + sy 



