

KEIARQUES 



SUR LA FORME DES RACINES 



NUMERIQUEMENT DETERMINEES 



PAR 



C. J. I>> II I I, I,. 



ll faut distinguer la forme cossique de la forme Arithmetique. Sur celle- 

 la on a la conjecture d'Euler, que la racine * de 1'equation ritK=^o fait 

 2=Vy , si (n \yy=o, mais on a les demonstrations de Ruffini et d'Abel, 

 et d'autres, que cette forme n'est pas generate au dela du IV:me degre. 

 Plutot si rtx=z, il faut poser x = n~*z et etudier la nature de ce symbole 

 d'apres la theorie des fonctions iterees. Quant a celle-ci, on sait que la 

 forme d'un binome imaginaire (x=x a -\-ix i , i* etant = 1) est generate 

 pour les racines des equations algebriques et meme pour une infinite des 

 equations transcendantes. 



De cela il y a bien des demonstrations, et surtout celles de Mr. Gauss 

 sont appreciees pour leur elegance et leur rigueur. Mais il m'a toujours 

 semble d'un avantage particulier, si Ton pouvait entamer la demonstration 

 d'une telle maniere, qu'en meme temps une voie sure etait indiquee, sur 

 laquelle on pouvait proceder adroitement a la recherche des valeurs memes 

 des parties de la racine (# , a;,). Et j'ai trouve plusieurs manieres. La 

 premiere demonstration si avantageuse, que je trouvais, n' etait qu'une mo- 

 dification essentielle de la premiere demonstration de Mr. Gauss. C'est 

 celle que j'ai autrefois communiquee a la societe physiographique ici. Une 

 autre j'avais 1'occasion de produire 1837 conjointement avec un precede 

 de resolution fonde la-dessus. Elle est composee en latin et deja livree a 

 la presse. Mais a present je propose deux telles demonstrations, dont 1'une 

 n'est qu'une modification de celle de Mr. d'AIembert, mais applicable aux 

 equations transcendantes. L'autre m'est plus particuliere , aussi bien comme 

 celle composee en latin, et fondee sur la consideration d'une courbe a 



double courbure. 



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