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Voici ces 



Deux Demonstrations 

 (hi THEOREMS, dit Fondamental de I'Algebre: 



"Les racines d'une equ. Alg. (n'=o) sont ou reelles ou out In forme 

 d'un binome imaginairc x=x -\-ix,, f etant = 1." Ou bion autrement: 

 "Chaque fonction entiere n'x a des facteurs reels ou du l:r (x a) ou du 

 2:me degre (#' a#-f )." 



Mr. d'AIembert en a donne une demonstration , que nous exposerons 

 d'abord brievement, puis nous en donnerons une nouvelle, laquelle se pre- 

 tera inieux a la recherche des racines imaginaires. 



Soit n } x=y une fonction entiere quelconque de x etsupposons, que 

 1' equation n*x=v n'ait point de racines reelles, ou du moins qu'une de ses 

 racines demeure imaginairc d'une forme inconnue tant que la valeur de v 

 sera entre les limites a et b, de maniere que x ait une valeur reelle * dans 

 1'equation n t os=a, et une $ dans '#=&, (ce qui pourra se toujours faire, 

 puisque il ne faut pour cela que prendre = ' et b = n'fi), et que les 

 valours a-fw, /3 a de x soient imaginaires dans les equations n l x = a-\-ta 

 et n t x=b w, w etant une quantite positive aussi petite qu'on voudra. Done 

 par les substitutions a?=* + w, et a=n'*, 1'equation n?x = a + (a deviendra 



jn . 



2 =i . ' , &c.) Or si , n'est pas =o, on aura par reversion 

 (da) 1 



n. n. 



Cette serie sera tres-convergente et partant reelle, w etant in liniment 

 petite. Done u sera une quantite reelle contre 1'hypothese. II faut done, 

 que n, soit = o. On aura done, en extrayant la racine, v/w=M v / ^+M 2 .v,+ .., 



3 3 



et de meme, si Ton avoit en meme temps n 2 =o, yw=. y^+^.t/.+^c. 

 et partant en general VW=M. V^+wX + w'^-j- .., et on en tirera pareille- 



T / r \2 



ment M = -|/JH + JV,.| V/ I +> e * ce ^ e s ^ r i scra encore convergente, w 



* . 

 etant une qnantite petite a volonte. Done si ~\l -- est reel, il faut que u 



le soit aussL II faudra done, pour que u cessera d'etre reelle, que Ton 

 n'ai y^. pas reel, comme lorsque n r est negatif, et r pair. Dans ce cas 



on aura \/ =c. yT ou de la forme c.+^'c,, et par consequent M sera 



V n r 



