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aussi de la meme forme. Mais une racine impaire comme "\ / est a vo- 



V "3 



lonte reelle ou imaginaire, et partant si n t = o = n 2 ou 1'equation nx = na a 

 trois racines egales, deux de ces racines passeront a 1'imaginaire, la troisi- 

 eme restant reelle. En general il s'ensuit de cela, qu'une racine ne peut 

 passer du reel a 1'imaginaire sans devenir multiple, et si elle est double 

 ou quadruple 8Cc., ce passage sera inevitable. L'affaire sera la meme a 

 1'autre limite b; ce qu'on prouvera de la meme maniere. Nous remarquons 

 encore, que cela a necessairement lieu, 



{si nct=o, et TCJ<>) si toutefois ,"<; n'fi, 

 ousiw?/3=0, et ,;/3<T0| (ou CK* V). 



t 1 ~^ ) \ ^^. / 



Maintenant, puisque, quand la valeur de v est tres-pres d'une des 

 limites a ou b, une des racines de 1'equation ri'x=v est necessairement de 

 la forme p-\-qi, si cette racine n'est toujours de la meme forme pour 

 toutes les valeurs de v comprises entre ces limites, soit c la plus grande 

 valeur de v, pour laquelle as sera de cette forme, de maniere que dans 

 1'equation n"x=c on ait z=x a -\-ixi , et soit x=a; -\-ix t +u dans 1'e'quation 

 nx=c-\-w. On aura done en substituant et developpant n (x a -{-ix^ = c et 



-{-... ou wu.rix-- ix 



Mais les coefficients de u" , ne contenant que des puissances entieres 

 de x,-)-ifi, sont toutes reductibles a la forme p + iq: ainsi 1'equation pre- 

 cedente deviendra M.[(wJa;) +{(M^) ) ]+M 2 .[(n^) + z(a;) 1 ] + .. . = w. Mais on 

 tire de-la par reversion u sous la forme a,.. o)-f-/Q,-.w* + r y,.a) 3 -]-... ou M O -J-ZM, 

 (=u,), les coefficients a,,, /3,-, y,. 8Cc. etant tous de la forme p-\-iq, (savoir 



' , et la serie ti t etant conver- 



gente a volonte. On aura done u=u tt -\-i.u t , et par consequent la valeur 

 de x sera encore de la meme forme, savoir = x -{-u -\-i(x,+u 1 ), z a -\-u a et 

 ^,-j-ie, etant des quantites reelles. Done il n'y a aucune valeur de v inter- 

 mediaire entre les limites a et b, pour laquelle la racine x ne soit pas de 

 cette meme forme. On raisonnera de meme pour d'autres intervalles , d'ou 

 Ton prouvera, que toute equation Fxo, dont les fonctions de'rivees Fx, 

 F t ,x, SCc. sont reductibles a la forme de binomes imaginaires, lorsque x est 

 de telle forme (=x^{-ix l ), a des racines imaginaires, (ou reelles, si x t se 

 trouve = o), 



Or c'est le cas des fonctions rationelles, done toute equation Alge- 

 brique a des racines reelles ou imaginaires de la forme binome 



