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ses coefficients etant reels ou imaginaires. 



Cor. Done toute equation algebrique a coefficients reels se resout en 

 facteurs reels lineaires ou quadratiques. L'aflaire sera la memo, si ses co- 

 rl'tirients sont imaginaires, puisque une telle fonction est facteur d'une a co- 

 efficients reels, (car n'x-\-ir"x divise (:r)' 2 -f (r*)*). 



II:me Demonstration. 



Le THEOREMS FONDAMENTAL se demoiitrc aussi d'une manierc assez 

 directe, que voici: 



Soit v"x une fonction entiere sans racines egales, ou une, qui par 

 la substitution imaginaire z + iy prend la nieme forme z-\-iu=v\x-\-yi), 

 ou z et u sont des fonctions donnees (=n~^~y et - ^=(w^) et (vx\)Aex 

 et y, qui expriment les parties reelles et imaginaires de v"(z-\-iy). Done 

 d x z-\-id x u = v'\(x-\-yi), d y z+id !> u = i.v](x-}-iy)=i(5 t z-{-id. [ u), et par suite S jr z= 

 dyU et 3yZ = d x u ou '=, et z t = '. Or z=n"x^y et u = rj^y peuvent 

 se representer par des surfaces, dont elles sont les equations a coordon- 

 nees rectangulaires, et n^/=r"^y est 1'equation de la projection de la cour- 

 be a double courbure, qui est Tintersection de ces surfaces, dont la troi- 

 zieme ordonnee est =z=u. Or vx etant une fonction entiere de x, et par 

 suite n"J^y et r"7^y de x et y, ces surfaces sont continues et leur intersec- 

 tion done Test aussi, laquelle pour des coordonnees infinies commence a 

 une distance infmie du plan xy, et y approche ou indefmiment, jusqu'a le 

 rencontrer et meme passer de 1'autre cote de ce plan, ou bien elle faudra 

 s'en eloigner, apres y avoir approche a une distance z minimum, sans pou- 

 voir 1'atteindre. Or pour cet effet il faudra, que dz=dn' l ^~y = n\dx-\-n l dy 

 soit =o, n"^j etant =r"~^y et par suite n ( dx-}-n t dy = r < dx-\-r i dy = o, d'ou 



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vient -f = -. = _, ou n l .ri=n t .r\ Or w' = (J^=^ r , n l = z,, 6,11 = 11* et 

 dx , r t 



r, = M,; done z'u l = z l u t , ou , 2 = w, 2 , ce qui ne se pent sans que u, soit 

 = o et u' = o et par suite z* = o = z { et v,(.r-\-iy) = z'-\-iu [ =o, ce qui exige, 

 que v"x-o ait des racines egales, centre Thypothese. Done il faut que la 

 ligne d'intersection des deux surfaces z=n"xy et u = r"xy coupe le plan xy, 

 et qu'il y a done des valeurs de x et y qui fassent z = o = u, ou n"^ = oet 

 rI~y =o a la fois, et par suite v\x+iy') = z-\-iu = o J r i.o=o, ou que liqua- 

 tion v"t = o a-t-une racine d'une forme imaginaire binome (t=z+iy); ce qu'il 

 fallait demontrer. 



Cor. Or il est evident, que cette demonstration est applicable a toutes 

 les fonctions v"x, qui inanquent de racines egales et par la substitution 

 v(x+iy) prend la forme z-{-in et fournissent des valeurs continues pour z et 





