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u. Done pour toute telle fonction (v"x), 1'equation v"x=o a des racines ou 

 reelles ou imaginaires. 



REMARQUE. La demonstration que nous venous de donner du The- 

 oreine fondamental de 1'Algebre devient plus claire par la consideration plus 

 particuliere de la courbes a double courbure z = n"xy=r"xy, et meme on 

 peut en obtiner une nouvelle demonstration, qui est telle, qu'on pourra 

 en fonder une methode praticable de trouver les racines imaginaires. 



Soit done dr^j=pdx-^-qdy, ou p=r* = u f et q=r t =, , et dn"xy de- 

 viendra = qdx-pdy, puisque n l =z'=u l =q et n l =z i =-u i =-p. Done dz=pdx + 



qdy = pdy + qdx , et de-la dy = r ^ . dx . 



p+q 



Soit s Fare de la dite courbe et a sa projection sur le plan xy 



et nous aurons da 2 = dz* -f dy* = dx\ "^ ^ ' et dz=^-^L.dx, et cfo' J = da 2 -f 



p+q 



dz -> = -.ff+jp'-fY); done ds>: d a 2 = l + .(p'-+f), ce qui surpasse 



toujours I'linite, p*-\-q* ne pouvant s'evanouir, que dans le cas excepte des 

 racines egales, ce que nous avons tout a 1'heure demontre. Done la ligne 

 s d'intersection des surfaces z=n^y et u=r~j-~y ne coincide jamais avec sa 

 projection a, mais est toujours plus ou moins inclinee sur le plan xy, 

 qu'elle pour cette raison meme enfin coupe necessairement, ne pouvant ja- 

 mais y devenir parallele ou en retourner. 



Cor. Pour trouver une ratine imaginaire, il suffit done de poursuivre 

 une branche quclconque de la dite courbe d'intersection , dont les equa- 

 tions sont z=r"xy et z = n"xy, et on y approchera plus rapidement, plus 

 p*+q* ou r n -\-r? est grand. 



Pour cet effet il faut employer des substitutions imaginaires x+iy, 

 qui renclent v"(x-\-iy)=z-}-iu et z = u ou r"J^=n"'^. Done, ayant pris x a 

 volonte, il faut chercher y de cette equation, qui n'est que du v-eme de- 

 gre; dont les valeurs approchees suffiront. 



Or s'il n'y a des racines reelles, on peut negliger le facteur y de 



~0 



r"x$, ou prendre _^ au lieu de r"^; dans tel cas 1'equation ri > xy=-.rxy 



y y 



ne contient que y> (et pas y) et peut se deprimer au degre \v ou \ K -\ , en 



faisant y~ = v*. Done au lieu de la dite ligne d'intersection, on peut con- 

 siderer celle, dont les equations sont z = n"xy et z=c."xy, si vV 



Dans ce cas si d = d = .dx-- t dy, il nous vient 



d'ou Ton tire '= 



