li- 

 ar convergerande eller icke; hvilken serie just utgor sjelfva 

 grundvalen for BKRTRANDS deduction. 



Det bar lyckats mig att bevisa na"gra theoremer, med 

 hvilkas tillhjelp ett s3dant afgorande blir utan svaYighet moj- 

 ligt, och genom hvilka saledes jag vagar tro, att den Ber- 

 trandska afhandlingen far ett forhojdt varde. De aro: 



Theorem I. Om, sdsom vanligt dr, med l^ beteck- 

 nas Neper ska logarithmen till x , och for korthetens skull 

 sdttes 



*V) = '(*(*)), ' 3 (*) = /(/(/(*)) O. S. V. 



Sd dr a lit id 



(2) . /(p+0 



*..W (,.)... $ 



forutsatt att n dr sd stor att /(^) ar e/& positif avantitet. 



Beviset grundar sig dei-pa 1 , att for alia positiva va'rden pa" x 

 /(! + *)<*. 



For y = o ar riktigheten af formeln (2) ogonskenlig; 

 och det Uter med storsta latthet bevisa sig att, om den a'r 

 sann for p, densamma a'fven galler for p+\. 



Theor. II. Under samma antagande, som i foregdende 

 theorem dr alltid 



(3) . /Cn-4-n /fn-4-lX 1 



Beviset grundar sig derpa, att, d5 j:<l, /(I x) ar en 

 positif qvantitet och s&dan att 



Om formeln (3) galler for p, galler den afven, om i stallet 

 for p sattes p+l. 



Theor. III. Med samma antaganden som i foregdende 

 theoremer dr alltid, sd snart 



Bevis. Emedan i allmanhet for positiva varden af x 

 (5) ...... e*>l + o7, 



