2 OVER EENIGE GEVALLEN B1J DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 



groot; een onderscheid dat meermalen verkcerdclijk over het hoofd word 

 gezien. 



Wanneer men toch eene bepaalde integraal-formulc gevonden hcefl voor 

 zekere waarden van eene standvastige grootheid h, namelijk 2ft, 2ft + 1, 

 oft, pft, (waar a een geheel getal en p een gebrokcn moet voorstellen) kan 

 het dikwerf voorkomen, dat de gang der redenering juist steunt op dezcn 

 bijzonderen overeenkomstigen vorm der standvastige, bijv. het even of oneven 

 zijn, het geheel of gebroken zijn daarvan: is dit het geval, en laat men h 

 tot oneindig aangroeijen, dan gelden de uitkomsten, die alsdan ontstaan, niet 

 algemeen voor A= oo, maar respectivelijk slcchts voor/t 2ft,=2ft+l,=aft,=pft, 

 mot de voorwaarde ft = oo. 



Uit dit oogpunt nu zullen hier voorcerst te bchandelen zijn de inlegralen 

 van den vorra: 



fb fb 



I Sin.kx.f(a;)dx of I Cos.kx.f(x)dx. (L\m.k = oo ) 



a a 



Hot eerst, ongeveer een vierde eeuw geleden, zijn zulke integralen beschouwd 

 door LEJEUNE-DIRICHLET en wel in CRELLE'S Journal fur reine und angewandte 

 Malhcmalik, Bd. 4, S. 157: sur la convergence des series trigonometriques 

 qui servent a representer une fonction arbitraire entre des limites donnees. 



Hij onderscheidde echter teregt, waar het hier juist op aankvvam, namelijk 

 het geval, dat h den vorm 2ft + 1 bezat en dus oneven was, ook voor ft =00. 

 7ijne opvolgers editor zagen dit bij soortgclijke bespiegelingen dikwerf over het 

 hoofd en geraakten daardoor somtijds tot valsche uitkomsten. Dit onderzoek 

 zal, naar ik meen, tot eenige belangrijke gevolgtrekkingen aanleiding geven. 



Vervolgcns zullen de Integralen van den vorm 



o 



q, (Sin. ct x, Cos. (? x).f (x) d x 



worden nagegaan. Deze integralen zijn van oudere hcrkomst, en zijn zoowel 

 de aanleiding tot, als het gevolg van zeer verschillende en uitecnloopende, 

 ja zelfs tcgenstrijdige, beschouwingen geweest: in latcren tijd heeft vooral 

 RAABE zich veel daarmede bezig gehouden; mijns inzicns zijn evenwel som- 

 tijds deze uitkomslen, behalve om andere redenen, ook nog daarom niet gel- 

 dig, omdat de integraal alsdan eigcnlijk slechts bestaat onder dezen of der- 

 gelijken vorm 



