OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE TIIEORIE VAN ONSTADIGE FUNCT1EN. 5 



die en i* tot grenzen hebbcn; men kan dus al deze integralen onder een 

 integraalteeken verecnigen, dat is: 



[l n \Sin.Xjfx\ Sin.x f fit x\ Sin.x (n-\-x\ Sin.x (2n x\ 



*J o i x f \ii + ^^/(~T~)~^x f (^~^^x f (~ir) ' 



, Sin. x 



Nu kan men tot den limiet van k = oo overgaan; vooreerst is alsdan de 

 reeks onder het integraalteeken eene oneindige; voorts wordt voor elke 



wanneer althans de functie f (x) tusschen de grenzen der integratie en i^ 

 stadig is *. 



Men kan dus deze /"(O) even als Sin.x, als gemeenschappelijke factoren 

 onder het integraalteeken afzonderen, waardoor 



r 



J 



n x 



wordt: maar in het algemeen is = , dus wederom den 



en x cn-\-x c 2 n* a; 1 



standvastigen factor /"(O) buiten het integraalteeken brertgende, 



I i= =/(0) /"** 'Sin.x ^[I-f-^-j ^ Y+ a 2 ^ a . . .1 



o 



Nu weet men dat voor x < , (en dit is hier het geval, daar i w de bo- 

 venste grens van x is) de reeks onder het integraalteeken convergeert en 

 Cosec.x tot waarde heeft; daardoor wordt eindelijk 



ft* fl* 



I, =/(0) I Sin. xdx. Cosec.x =/(0) I dx = ijr/(0). 



I L 







dat is : 



&Sin.kx 



f(x)dx = |TT/(O). (Lim.t =00) .......... (I) 



I. 



* Het woord stadig wordt hier gebruikt ter vervanging ran het fransche continue, even als 

 onstadig voor discontinue staat. 



