6 OVER EUNICE GEVALLEN BIJ DE T1IEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 



Yorvolgens zij 



/a C,'n ! x 

 -f(x)dx , 0<a<J7r, (Lim./fc= oo) 



o * 



zoo hecft men wcdcrom, even als boven k x = y stellcndc, 



Sin.kx 



f 

 / 



, . 



() !,, -/dy. (Lim.A=) 



Stel nu dat hot grootste veelvoud van i, dat in ak begrepcn is, m. i* zij, 

 en f (die dus kleincr dan i is) de rest, zoodat ak = m.% n -\- f is, dan zal 

 hierbij m, hoezeer kleiner dan k, (daar o kleiner dan i ^ is ondcrstold) loch 

 mot k moeten aangroeijen en daarmede oo tot limiet hebbcn. Verdoelt men 

 nu den grensafstand o tot a k in twee andere tot i m n en i m tot 

 \ m * + f, zoo wordt 



[i mv Sin.y fy\ f 



/ -- J f(j: \dy+ 



De eersle integraal in het tweede lid dezer vergelijking heeft, even als bij dc 

 formule (I) \n f(Q) tot waarde: de tweede inlegraal kan men tot eenen meer 

 geschikten vorm terug brengen door de onderstelling y = % m n + x; alsdan 

 wordt dy dx en de grcnzcn voor de nicuwe veranderlijkc x worden en f; 

 daardoor wordt dus die integraal 



l>+fSin.y 



n 



. f 



\mn o 



en derhalvc 



tfSin 



/ 

 J 



J 



f\ - ]dj;.(L\m k = oo ,Lim.i = oo) 



\mn-\-tn \ k / 



Maar in de laatste integraal is Sin. (i m n + x) ook voor m = oo steeds klei- 

 ner dan de eenheid; ffa ^^j wordt f l*~\ - f(a); de noemer i m * + x 



wordt oneindig, en daarmede vervalt de geheele functie onder het integraal- 

 teeken, zoodat die integraal zelve nul wordt. Men heeft dus ook hier 



