OVER EENIGE GEV ALLEN BIJ DE TIIEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 11 



Stel in de eerste der integralen, die in het laatste lid dezer vergelijking 

 voorkomen, x = p * y, zoodat Cos. x = Cos. p n. Cos. y + Sin. p *. Sin. y = 

 Cos. pit. Cos. y, dx = dy is, terwijl r en de grenzen van y worden. Even- 

 zoo moet men in de laatste dier integralen x=qn-}-y stellen, zoodat dx = dy 

 en Cos.x = Cos.qn.Cos.y wordt, met de grenzen en s voor y. Op de onder- 

 stelling pn = bk-\-r,qn = ak s lettende, heeft men alzoo 



f] I V7I ji\ rqir I /~\ MI /nir4-n\ 



- Cos p n. Cos.y. P ^^ 1 ( dy) + / - Cos.x.V - W * + - Cos.q *. Cos. y. F S^Zl d y 



K \ K j I K ^ \kj | k \ K / 



r p?r 



r r l lbk-\-r y\ /"? T 1 I x\ f*l lak _ s4-v\ 



s.pn.l -CosyS - -\dy+\ -Cos.x$ - \dis+Co8.gii. 1 -Cos.y.'S 1 - :r ^ %, (LimJfc= o 

 J K \ A / J Ic \k] j h \ k I 



pJT 



Is nu f(x) tusschen de grenzen a en 6 stadig, zoo blijkt reeds uit de vorige' 

 vergelijking (i), zoowel als uit de laatste, dat iedere integraal in het tweede 



lid op zich zelve mil wordt, uithoofde van den factor -; zoodat dan ook: 



K 



I 5 = Cos.kx.^(x}dx = . (Lira. A =00) ....... (VII) 



Maar de vergelijking (k) leert ons meer. Want indien slechts Lim. 

 mil is (voor Lim. S = 0), waarbij toch F (6 + 5) zelve oneindig kan zijn en 



V i -_ 7/ 



cr dus stadigheid bij de grens 6 kan plaats hebben, zoo is voor S = -, ; 



v\ r 11 lbk-\-r /\ 



=Lim. -- -F - = , 



dus Lim.jP 



Ic \ 



daar j als grens der overeenkomstige eerste integraal in het tweede lid 

 van (k) grooter dan y en toch kleiner dan n zijnde, (zie verg. (h)} r y 

 een positief eindig getal is; die integraal wordt dus ook in dit geval nul. 

 Indien ook evenzeer Lim. df( 5) = is (voor Lim. 5 = 0), waarbij ook 

 F ( 5) wederom op zich zelve oneindig kan zijn, wanneer de onstadig- 



heid voor de bovenste grens a plaats grijpt, zoo is voor S = : 



K 



2* 



