OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. \O 



reeks onder het integraalteeken convergent en begrepen tusschen nul en den 

 eersten term dier reeks, dat is, voor p n hare waarde b k -f- r in de plaats 

 stellende, 



Maar wegens Lim. *F(6 + s ) = is ook Lim. F b + = 0, 



k \ k I 



en dus ook, daar x < r < n is, Lim. - F [b -f- - - ] = 0; derhalve < I 5 < 0, 



* \ * I 

 dat is I 5 = 0. 



Was F (x) daarentegen tusschen de grenzen en ^ eene opklimmende 



functie, zoo is de reeks onder het integraalteeken nog convergent, mils men 



haar in omgekeerde orde neme; hare waarde is alsdan begrepen tusschen nul 



en den laatsten term dier reeks, zoo als zij in de vergelijking (n) geordend 



is; dus voor qn hare waarde a k s stellende, wordt 



Nu is Lim. df(a8) = ondersteld, dus ook Lim. " + * y - F fa-"" 1 "* 'A _ . 



K \ J 



!/ -7T + S M\ 



maar ?/ < s < ^ dus < ^ + s V < " ^ en daarom Lim. -r F ( a ' = 0, 



'^ " if \ if ] 



K \ I 



derhalve ook in dit geval < I 5 < 0, dat is I 6 = 0. 



Was F (x) verder eene functie, die dan eens opklimmend dan eens afda- 

 lend werd, zoude men de integratie van elk maximum tot elk volgend mini- 

 mum afzonderlijk moeten uitvoeren, en zoude van elke zulke integraal dus 

 het boven gezegde gelden. Word F (x) voor eenige dier grensafstanden nega- 

 tief, zoo behoefde men slechts eene nieuwe functie F! (x) = F (x) in tc 

 voeren, om weder de vorige redenering te doen gelden. Men heeft dus altijd 



JP 



(Lim. k = oo) . - . . (VIII) 

 als Lim. 5P(6 -f- S) = 0, Lira.5F(a J)=-0 en Lira. 5 = is. 



wanneer de functie F (x) tusschen de grenzen (uitgesloten) stadig is. 



Maar ook wanneer zij voor eenige waarde van x bijv. h (zoodanig dat 

 6 < h < a is) onstadig werd, is het gemakkelijk te bepalen, welken invloed 

 dit zal uiloefenen. Men moet alsdan volgens de voorschriften van de theorie 



