OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTION. 15 



6. Men kan in de algemeene vergelijkingen (IV) en (VI) voor f(x) ook 

 nog andere onderstellingen invoeren, zoodat de noemer se vervangen worde 

 bijv. door Sin. x of Cos.x; en dit zal tot vier verschillende formulen leiden. 



(X) 



Zij vooreerst in (IV) fx = E(,z),dan wordt zij 



06*2. 3D 



( a Sin.kx 



f 



Sin.x 



\ x 1 



Tt\- I (a?) I . (Lira. A =00) 

 *8m, ._ 



x 



Voor -x = wordt wel is waar - - = - en schiint dus onbepaald. doch 



Sin. x 



nit de leer der limieten weet men dat Lim. ~ = l voor Lim. x = 0. 



<om. x 



Maar de bovenstaande vergelijking geldt slechts, wanneer f(%), dat is -^ P(), 



^iflt C 



stadig is tusschen de grenzen en a; wanneer dit zelfde nu ook met F (2?) 

 het geval moet zjjn, zoo dient noodzakelijk mede stadig te wezen; deze 



O2%. & 



breuk wordt onstadig voor x==n- derhalve geldt de bovenstaande vergelij- 

 king vooreerst slechts voor a kleiner dan it, dat is: 



I, = r S ^^^(x)dx = -P(0). a<7r. (tinj.* = 00) ..... (XI) 



J OJTi. A' 2 



o 



Er is dus eene nieuwe onderzoeking noodig, wanneer a gelijk of grooter dan 

 n is; daartoe onderscheide men bier drie gevallen 0, = , a = bn, a = bn-\-c, 

 (waar c<^ zij), zoodat wij ons eerstens hebben bezig te houden met de 

 integraal 



I 7 = 



f* Sin. k x 

 = / -^(x)dx . (Lim.fc = oo) 



hm.x 

 J 



Men ontbinde den grensafstand tot * in twee andere tot i n en i T tot 

 71 ; dat is 



= _ = 



. a; 



Verder stelle men in de laatste integraal x = n y, dus dx dy, 

 Sin. x Sin. y, Sin.kz= Cos.k 7 *. Sin.ky = Cos. {(k \ ) f) . Sin. k y, terwijl 

 de grenzen van y worden i* en 0; alsdan wordt: 



