OVER EENIGE GF.VALLEN BIJ DE TIIEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 29 



a Sin.kx ["Sin.kx 



rf a dx t a Sin.kx fSm.kx 

 Sin.kz.f(x)dx, I Sm.kx.f(x)~, I / (x)dx , I f(x}dx, 

 J x J bm.x J Cos. x 







/ f a dx [ a Cos.kx f a Cos.kx 



Cos.kx.f(x}dx, I Cos.kx.f(x) , / f(x)dx , j 7 f(x)dx, 

 J x J LOS.JC j bin.x 



oooo 

 vvaarbij zich nog voordeden de beide bijzondere vorraen 



ra ra 



I Sin. kx. Tang. x. f (x) das en / Cos.kx.Cot.ac.f(x)dx, 



4 o 



(waar overal Lira, k oo ), kunnen nu voor elk bijzonder geval de verande- 

 ring dcr integralen worden afgeleid. 



Men konde zich nog de vraag voorstellen, of niet in plaats van de functie 

 Sin.kx of Cos.kx eenige andere goniomctrische functie Tang, k a, Cot.kx. 

 Sec.kiv of Cosec.kx in te voeren ware: men ziet echter gemakkelijk in, dat 

 alsdan de uitkomst oneindig zoude worden. Want daar deze laatste function 



of voor 40 = - -n of voor kx=-bn oneindig worden, zoo zal er voor 



elke x hoe klein deze ook worde aangenomen, k zoo groot kunnen genomen 

 worden, dat k x eene van bovengenoemde waurden verkrijgt, en dus de in- 

 tegraal oneindig wordt. Dit bezwaar zoude vervallen zoodra de bovenste greris 

 van de integratie oneindig klein ware, maar dan worden de integralen tot 

 eeno bijzondere soort teruggebragt, die door CAUCHY Integrates defmies sin- 

 yulieres genoemd zijn, en hier niet verder zullen worden nagegaan. 



Omdat te gelijk met iedere integraal waarin de factor Sin. k x voorkomt, 

 eene andere gelijksoortige gevonden is, die slechts daarin verschilt dat de 

 factor Cos. k x den vorigen vervangt, zoo is wegcns de formule 



e kxi () os _ kx i Sin. k x 



(ink 



| e- k *ij(x)dx = rCos.kx.f(x) dx i l" Sin.kx. f(x) dx. 



' 



Daardoor geven de theorema's (IX) en (X): 



r 



fc*' F (.r) d x = 0. (Lim. k = oo ). 



Wordt F (x) voor 6, a, of /t (a > h > fe) onstadig, zoo moet 

 nog respective Lim. $ F (6 + 5) = Q, Lim. 5 F (a 5) = 0, 

 Lim. ^ F (A 5) = wezen voor Lim. 5 = 0; 6 kan .ook nul zijn. 



. (XXXII) 



