"'" OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTAD1GE FUNCTIEN. 



Kvenzoo (IV) en (VI): 



*ck**/M~ = oc . 7r/(0) . (Lira. A oo ) (XXXIII) 



x 







Vorder uit de theorema's (XI), (XII), (XV), (XVIII) en (XIX) verbonden 

 met (XXXI): 



dx 1 



Sin. x 2 



= |7rF(0),} ( JT < a < oo, naarmateF (iff) altijd of 



00 



niet altijd nul is. 



. (XXXIV) 



Eindelijk geven (XX), (XXI) en (XXV) verbonden met (XXVI,) (XXVII) 

 en (XXVIII): 



dx 



Cos. 



- = 

 x 



oo), 0<^a< oo, 



naarmate F ( g" 71 ) alti J d nul is of niet - 



Hot is opmerkelijk, dat bier alle onderscheid tusschen de verschillende 

 vormen van k ten eenenmalc wcgvalt, betgeen dan eens aan de integralen 

 met Cos.kx, dan weder aan die met Sin.kx te wijten is. 



\\. Hoewel in bet voorgaande reeds onderscbeidene toepassingen voorko- 

 men van de hoofdvergelijkingcn zelve, zal bet misschien niet ondienstig zijn 

 eene regtstreekscbe toepassing aan te voeren, die meermalen voorkomt, maar 

 dikwerf met uitkomsten, die van de bier gegevene verscbillen. Zij daartoe: 



Opdat deze functie stadig blijve tusschen de grenzen der integratie zal men 

 moeten nagaan : wanneer de noemer I 2 p Cos. x + p 2 nul kan worden; stelt 

 men daarin Cos.x = \ 2 Sin. 2 i x, zoo koml er (1 p) 2 + 4 p Sin. 2 i x, dus 

 de som van twee vierkanten; derhalve moet elk vierkant op zich zelf nul 

 worden: met den tweeden term 4pSm. 2 i<? is dit steeds bet geval, zoodra 

 x = 2 bi*, dus Sin. 2 $x SinSbn is; met den eersten term daarentegen slecbls 

 il.in, wanneer p = \ is. Om de onstadigheid derbalve te voorkomen, beeft 

 HUM) slechts bet geval van p = + 1 uit te sluiten, dus de voorwaarde le 

 stellen oo <p<;-j-l j -f-i^p^oo. Hierbij is natuurlijk ondersteld, dat 

 f(x) wedcr sladig blijve tusschen de grenzen van bet integreren. 



