~' x OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCT1EJ 



MII liiormcdc mogen wij de thcoric van dc bepaaldc inlegralen 



I Sin. kx.f(x) dx en / Cos.kj:f(.r)djc , (Lim.& = 00 ) , 

 "a 



als afceliandeld beschouwen, daar men in ieder bijzonder geval zicli lot d<- 

 gevondene theorcniala kan wcndcn, en daaruit do overecnkomsligc uilkoinst 

 iilli'idfii. Vow hct bcwcren, dat men dikwcrf op den bijzondcren vorm van f; 

 Ic lelten beeft, hcbben dc bewijzcn niel onlbrokcn: daar, waar zulks le pas 

 kwam, is gcwczcn op bet verschil, dat er in dit opzigt dikwijls bestaat lus- 

 scbcn integralcn, die oogenscbijnlijk tot uilkomsten van denzelfdon aard inoes- 

 len aanleiding geven, maar waarbij dan eens k gebcel algemocn jjlcef, dan 

 vvcdt'r in twee of vier afzonderlijke vormcn word gesplitst; ja, men becft gc- 

 zicn, dat ook bij de grenzen der integratie dikwcrf bijzondcrc vonnon mocs- 

 ten ondcrscheiden worden. Wij moeten nu nagaan, \\olkon invloed dc bij- 

 zondere vormcn van hct oncindige uilocfencn, wanneer zij als grenzen der 

 inlegratie zicli voordoen. 



II. OVER DE IKTEGR.IAL / q>(Sin.x, Cos.fix)dx: 



I 



I (f (Sin. 



\ f l. Over deze soort van bepaaldc inlcgra'en zijn zecr verscbillcndc mep- 

 ningen geopperd, en <leze bebhen lot zccr verscbillendc uilkomslen gelcid; 

 vele dier mecningcn bernsten ecbler op vorkecrdc gronden en valsche voor- 

 slellingen van bet wezen eener bcpaalde integraal. Zoo werd bijv. in eene 

 bepaalde integraal 



f 



waar dc I'unclie van dien aard was, dat f (0) \ werd, = gesteld, en 

 daaruit afgoleid 



trrwijl men daarbij vergat, dat de vergelijking (i) bcpaaldelijk was onlwik- 

 keld onder dc voorwaarde, dat a grootcr dan moest blijvcn. De afleiding 

 van de integraal (y] uit (x) op die wijzc was dns ongeoorloofd, al konde bet 



