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De 1'equation (4) on tire encore , en faisant k m 



A r (m, MI 1) -f A r (m-\, m 2) -f ---- -f A r (l, o)=m p +' ... (7) 



.3. 



En I'nisanl k i dans la formulc (4), on a 



A r (m, m I) =: m r +' (m i) r + ' 



= (r + 1), m- - (r + 1) 2 m"> -f (r -f 1) 3 m'-' - 



. . . 4-(_i)-(r + i) r+I m . . (8); 



ni.iis de la definition meme des quantites que nous avons de- 

 signees par - /' (m, //) suit la relation 



A r m, m 1) =: m r -{- (m 1) m r - + (m l) 3 'm p - a + . . . + (m l) r 



d'oii, en developpant le dernier membrc dc cettc equation, il 

 viendra 



A'(m,m l) = (r+ \) m" (i + 2 + 5 + . . . + r) m" + (2, + 3, + 



+ 4, + .. . . r s ) m-- p 3 + 4 3 + . . . + r 3 ) iff-' + . . . . 



Par comparaison des deux valeurs de ^ r (m,m 1), don- 

 nees dans les equations (8) et (9) , on obtiendra en egalant les 

 roefQciens des mcmes puissances de m la relation suivajitc 

 cntre les coeflficicns du binome 



+ ( + I}. + ( + 2) n + . . . -f r.= (r + l\ +l , 



dans laquelle nous avons denote par n un nombrc cnticr 

 r. 



En vertu dc Tequation (8) on a 



