Geometr. Kalkyl. 65 



(A~ 2 + Y*+Z*\\ = (r 2 + 2rr'[Cosp Cusp, + Sinp Sin p, Cos (, OJ + ^ /2 )^ 

 V I" 2 + Z 2 Vr 2 Sin 2 p + 2rr^ Sinp Sin p, Cos(< / H + r' 2 Sin 2 p/ 



rCosp+r'Cosp, 

 Z ,' r Sin p Sin < + r* Sin p, Sin <, 



arctg j r = arctg r SinpCf)Slf + 





I (15) ha vi saledes uttryckt ifragavarande summa i en enda 

 geometrisk qvantitet af formen (Rpl 



, 



Med stod af (3) kunna vi bar, liksom i N:o 7 (5), omedelbart 

 ur (15) harleda ett enklare uttryck for planvinkeln. Vi finna naraligen : 

 / 



(r \ + lr> \ +(//)= /;' \ "I 

 \ PI, \ P>t. \\ p] \ pil. J. 



t t f O If t t 



\ 



~ ' "*'" 



(15). 



Planvinkeln, som representeras af arctg ^ , eller narmare uttryckt, 

 af arctg ^p^T^^ * ( 15 ) eller arct / Siny ; Si ?^- i * 



6 rfempCos^+r'Sinp/Cos^ v = rSinp ; ^-r,Sinp/Cps(^ i) 



i (16), ar har, liksom i N:o 7 (3), (4) och (5), fullt bestamd af tal- 

 jarens och namnarens positiva eller negativa tecken. Gransvardena 

 for planvinkeln innefatta saledes raellan sig alia fyra qvadranterna 

 eller hela orakretsen 2co. Enligt satsen 8 kan derfore den bage, som 



+ "^ Y 2 +Z* 

 representeras af arctg ~ -, vara inskrankt inom gransorna af 



l:sta och 2:dra eller ock inom granserna af 3:dje och 4:de qvadran- 

 terna, hvilka tvenne fall motsvaras, som vi se, af den positiva och 



negativa roten i arctg " ^ . Rakna v i derfore var planvinkel 



fran till 2co, sa ega vi att anvanda den positiva roten; rakna vi 

 deremot planvinkeln fran co till 3co, d. v. s. betrakta vi planet 



Z 



arctg -^ i dess negativa lage, sa ega vi att anvanda den negativa 



roten. Riktigheten af detta inses forofrigt pa grund af (1), saint der- 

 af att alltid arctg ~^F = + arctg -y, da namligen bagen enligt 

 ofvan inskrankes mellan gransorna och n\ da saledes: 



5 



