COMMENTATIO AD QUAESTIONEM MATHEMATICAL - 79 



a. Sfmifi modo erit variatio inugralis , cujtisvis funciionis diferentiaHs , aeqtialis 



integrali variationis ejusdem differcntialis functionis. 

 Id est si v sit ilia functio differentialis , erit: 



5 . /v = /S.v. 



Simili modo erit S , "^ 2 # == "b z . &x : caetera et S a . JV = J* S 2 .v caetera. 

 2o His praemi&sis , sit functio proposita v , talis functio , qua coritinentur quantitates 



variabilea x, y, z caet. ^, **Tp caet, quae functio igitur, simplicitatis gratia, per- 



GJ o* 



tinere intelligatur ad curvam simplicls vel duplicis curvaturae AB, Fig. 24. Haec au- 

 tem functio , cum in genere ad talcm curvam pertineat , prorsus indeterminata est ; suma- 

 tur hujus functionis integralis, id est, mutatis verbis, sumatur summa valorum hujus 

 functionis , a limits quodam a usque ad alium quemdam limitem b. Sint igitur puncta 

 A et B hi limites : eo modo functio JV7) * ef i t aequatio indeterminata , quamplurium 

 curvarum , quae tamen in eo sunt determinatae ut ad easdem limites A et B pertineant. 



Ergo functio indeterminata J'v'ftx pertinet ad infinitas lineas curvas, quae eosdem 

 limites A et B- communes habent, id est nostro casu , quae per data duo puncta transire 

 coactae sunt. 



Nostro casu igitur investigatio maximi aut minimi functionis indeterminatae JVJ) x , 

 reducta est ad hanc questionem : datis duobus punctis A et B positione , per quae puncta> 

 irifiumerae curvae transeant^ invtnire earn curvam 9 in qua functio indeterminata fv'ftx 

 fat maximum aut minimum. 



3. Haec proprietas maximi aut minimi, judicetur ex valoribus anteced'entibus aut sub 

 sequentibus maximo aut minimo , necesse est. Igitur si AB sit curva in qua valor 

 functionis fv'ft x esc maximum aut minimum , et ducantur curvae A/B , AcWB huic 



-\y 



quam proximae , erit ex Theoremate Tayloriano , si elementa x t y caet. -~ caet. 



QX 



crescant aut deerescant certis quantitatibus , (quod increm. aut decrem. pro omnibus- 

 notabo per *",) valor increm. aut decrem- functionis J*v^x pro curva antecedents 

 C fl denotante incrernentum aut decrementum , quod in functione obtinet ) , 



= + i., + . < . + jr + caet. 



pro curva Ac'rf'B erit, 



_ _ _ s./v-s^ y.yv-7)* , 2 S^ 



~~ ' l 



Si eurva AGDB gaudeat dicta maximi aut minimi proprietate , oportet ut pro maximo r 

 turn in curva Ac^B, turn in A/^'B, fl sit negativum, pro minimo autem positivumj, 

 ergx) si incrementum exiguum adeo sit, ut sugeriorura serierum T Siimmai terminorum se^- 



