44 



GIDEONIS JANI VERDAM 



, radices habeat rcaks seu imaginarias , et qui sint limites intra quos hi radices com* 

 prchenduntur. 



Fuse prolixeque hanc materiam tractare non possum , quippe a scopo aliquantutn remo 

 tarn; sufficiat breviter explicasse, quibus principiis nititur investigatio. 



Sit igitur z = x* -f- AA ' + Bo,"-* + Cx 3 + caet. 



aequatio generalis superioris gradus. In hac aequatione si x successive aequatur numeris 

 1.4.3 caet - > acquiret z quosdam valores; quodsi x tanquam abscissam , z utpote ordi- 

 natam curvae lineae spcctetur , erit curva , ad quatn haec aequatio pertinet , talis , qualis in 

 fig. 15. delineata est. Si aequatio habeat radices reales, ista curva ABCDEFGH, seca- 

 bit abscissarum lineam OX in tot punctis a t , g caet., quot adsunt radices reales; 

 namque si ad'sit radix realis, fiet hac radice aequatio generalis nihilo aequalis (21), ergo 

 erit z = o , id est , hoc casu curva secabit abscissarum axem in aliquo puncto; et hoc 

 perspicue toties accidit , quoties z fit nihilo aequalis : tot igitur puncta et curva ipsa et 

 abscissarum linea habebunt communia , quot sunt reales radices. 



Si autem adfuerint radices imaginariae , his solis valoribus imaginariis aequatio proposita 

 evanescat , et nullus adsit valor realis , quo nihilo aequalis fiat , necesse est. Ergo hoc 

 casu, curva neutiquam secabit abscissarum axem. 



Jam vero sit x = Oa = p radix realis, quo aequatio evanescit; sit item x q 

 alia radix ; ergo intra limites x=petx=:g 9 z primum est o , dein crescit , sed cum 

 mox , posita x ^= q , iterum evanescat , oportet ut intra limites crescat , deinde de- 

 .crescat, ideoque intra hos limites, maximum quemdam valorem cF attingat: quod si 

 intra x=.pe\.xz=.q 9 habuerit valorem negativum , accipiet z , posita x = q -f < -va- 

 lorem positivuin; 



Est autem perspicuum hos valores maximos F^, E/, G^/, ipsius z nullos alios esse, 

 quam radices aequationis difFerentialis 



~&y ' ' 



= * + ( i)- Aa- -f ( 2) B*-3 -f- caet. = o. 



Si aequatio proposita habeat radices reales, habeat aequatio difFerentialis etiam reales 

 radices necessarium est. Fac igitur hns radices aequationis differentials esse , /3, y 

 caet. ita ut sit maximus , reliqui autem ordine minores sint : jam vero , si , posita 

 in aequatione general! x c= a. = O/, fiat v. e. z A' = E/ positiva , atque si, 

 posita x = (3 = Oc, fiat z = B' r= cF negativa , perspicuum est, intra limitc; 

 et /3, x habere talem valorem, quo aequatio generalis nihilb aequaUs f5at; r nam- 

 qne ut quantitas z , a positive statu , evadat negativa , oportet lit in aliquo puncto a per 

 zero, ut ita dicam, transient; ergo intra limites x = et x /3 aderit radix realis, 

 Si autem ex duobus valoribus x =.'y = Qd et x = S =: Of , z maneat positiva aut 



ne 



CO Vid. Cl. de G elder, Begins, der Stelkumt , II Afd. VIII HoofJst. .^36. pag. 331. 



