COMMENTATIO AD QUAESTIONEM MATHEMATICAM. n 



functione <p (*,j) = o datur: namque ob vinculum, quod invenitur inter primitivam 

 functionem < ( x , y ) = o et inter derivatamF (x,y~) = o, omnino ilia uti licet , ad hanc 

 resolvendam (a). Valoribus ipsarum x et y inventis, transeundum est ad consideration 

 nem secundae differentialis , ut cognoscatur utrum maximum aut minimum adsit , et quid 

 praebeant valores inventi, utrum maximum aut minimum; id autem, acque ac supra,' ex 

 positive aut negative valore hujtis relationis difFerentialis confirmatur: et sic porro. 



5. Ergo nihil inest diflkultatis huic casui : functiones implicitae impeditiores quidem 

 sunt tractatu , quam simplices; sed hoc ex aequationum naturft petendunr est, neque ex 

 regulis , de maximis et minimis ; quae regulae quam sint simplices , sequent! modo ma- 

 nifestum fit. Forma difFerentialis primae , functionis implicitae , in genere talis est : 



= o (3), ergo ---- = _ - , 



et cum haec nihilo aequalis esse dcbeat, erit, 



- . . "^ -y J^J 



~ = ^ = o ; . . . . id est M = o . 



ergo si coefficiens M conjungatur cum data functione (p (x,y~) = o, hae duae aequatio 

 nes praebebunt tales valores ipsis variabilibus x et y , ut propositam functionem maximum 

 -aut minimum reddant. Differentialis secunda hujusmodi est : 



7)M> + My* + N7) 2 j + 7)N7)j = o. 

 Quae si dividatur per ~ftx 2 , erit: 



.^ + N .^ + ^N_^ = 

 x 2 a- 2 * 



y 



sed M = o , et ^- = o , ergo 



T>* y -o- hinc^ - "^ M ' ' 



-x~ 5 111I1L - ^r- T . 





- ^r- T . 



^x 2 ^x N 



Igitur si in data functione maximum aut minimum obtineat locum, sufficiet, coefficientis M 

 differentialem dividere per N.7)^ et, substitutis valoribus inventis xety, aderit 



mnm aut minimum prouti ^ . =-= fiat negativa aut positiva. 



QX IN 

 ^k 



Si Si r= o , erit differentialis tertia : 



$x 



4- N7)3j + ^N^y = o ; 



dividatur per ~frx 3 , eritque 



id 



(2) Vid. Cl. de G elder, op. cit. . 118 et seq. pag. 320. Caeterum hoc per se patet; si 

 detur $ (jf , y) o , erit aequatio differentialis hujusmodi F(*,y) = o, et quoniam x ec y in 

 utraque aequatione eaedera sunt, prima inservire potest ad alteram resolvendam, et vice versa, 



( 3 ) Cl. de u e 1 d e r , op. mox cit. . 1 19. pag. 322. 



C 



