RECHERCHES 



SUR 



LA THEORIE DES RfiSIDUS QUADRATIQUES. 



Dans un memoire sur la sommation des series finies ou infinies au 

 moyen d'integrales defmies (Journal de M. Crelle, t. XVII), M. Dirichlet a 

 donne une solution de ce beau theoreme : 



La somme de la serie finie ou infinie 



y(x) = c a + c, cos. x -f- c 3 cos. 2a; -+- .... 



etant connue, exprimer au moyen de la fonction <p(x) celles des nouvelles 

 series 



2r 2*- 



c -+- c, cos. 1 s . -- h c a cos. 2 2 . -- 1- .... 

 P P 



2,T 2T 



c. sin. I 2 . -t- c a sin. 2 2 . -- 1- 

 p p 



p etant un nombre entier quelconque. 



On voit facilement que les differents termes de ces series s'obtiennent 



en substituant dans c, cos. , c.sin. , au lieu de a,-, les residus qua- 



p ' P 



dratiques par rapport au diviseur p, dans un ordre determine. En repre- 



nant 1'analyse de M. Dirichlet, sous un point de vue plus general, pour 

 efiectuer la sommation de la serie 



' v p 



c, e -t- c a e 



