4 RECHERCHES SUR LA THEORIE 



ou </ designe un nombre entier et qui renferme les deux precedentes 

 comme cas particuliers, je suis parvenu a une relation remarquable entre 

 trois nombres entiers quelconques, de laquelle decoulent presque imme- 

 diatement les principaux theoremes de la theorie des residus quadrati- 

 ques et un grand nombre d'integrales definies qui n'avaient pas encore 

 ete remarquees , que je sache. J'ai deja rapporte une relation du meme 

 genre, mais beaucoup moins generate, dans un memoire sur le meme 

 objet (Mem. de I'Acad. roy. des sciences, etc. de Belg., t. XXIV). Cette nouvelle 

 maniere d'assigner une commune origine aux principales propositions 

 d'une theorie qui a si longtemps occupe les plus illustres geometres , 

 semble avoir quelque interet, 1'histoire de la theorie des nombres nous 

 montrant par de nombreux exemples, dit M. Dirichlet, que c'est surtout 

 dans cette partie de la science qu'il y a de 1'avantage a envisager la meme 

 question sous des points de vue differents. 



I. 



Considerons 1'integrale 



/ 

 e ^t V ' ? (x)dx, 



00 



dans laquelle p et q sont deux nombres entiers quelconques et p (x) une 

 fonction continue periodique, qui ne change pas lorsqu'on y remplace x 

 par x -j- 27r/i, /t etant un nombre entier posilif ou negatif. 



Cette integrate peut 6tre consideree comme la somme de celles qu'on 

 obtient en attribuant dans 



/ l T . . 

 exi V ' y(x)dx, 

 tier 



a h toutes les valeurs entieres , depuis - - oo jusqu'a + x . De cette ma- 



