8 RECHERCHES SUR LA THEORIE 



que nous venons de trouver pour 1'integrale 



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<? (x) dx , 



peuvent se reduire en une seule dont les limites sont o et pq 1 ; mais 

 la forme de cette integrate a laquelle nous a conduit 1'analyse precedente, 

 donne lieu a plusieurs propositions assez remarquables. 



Lorsque q est un nombre impair, 1'expression que nous avons designee 

 par F ( J peut prendre une forme plus simple : en n'attribuant d'abord 



a r que les valeurs paires comprises entre les limites 1 et q 1 , on a 



r j^v^\ *? r 

 pour cette partie de la somme 2^zf~ ( e *i cos. ~^~, 



Pour avoir celle des termes qui correspondent aux valeurs impaires 

 de r, j'y changerai r en q 2r, et il suffira de donner a r les valeurs 

 1, 2, 5 ... - On a ainsi pour la somme de ces termes: 



v * 



cos. xp e 2 r , e cos. 



et par suite, 



,.=,_, VgV=i 



. ^ = f 

 9 I 



= 1 -. cos. , , * cos. 



Substituant cette valeur dans 1'expression precedeute de F ( j , on a 



_ 



(4). F - , e i * cos. ^ \ n + a /I,' , ' cos. ! 



\PI\PI \ IL 



La fonction F [ ] est susceptible d'une autre transformation fort re- 



\ P I 



marquable dont nous allons d'abord nous occuper. 



