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En effet, soit 
A le personnel des pensionnés existant au 1° janvier 1858; 
d le coefficient d'extinction annuelle; 
c le nombre moyen de nouveaux pensionnés arrivant cha- 
que année. 
Au 1° janvier 1859, le personnel sera réduit, par la mortalité, 
à À — Ad — A (1 — d); et si on lui ajoute les c nouveaux pen- 
sionnés arrivés pendant l’année 1858, il deviendra À (1—d)+ c. 
Mais les pensions pouvant être accordées à diverses époques de 
l’année, et aussi bien au commencement qu’à la fin, on doit sup- 
poser que toutes prennent cours à partir du milieu. La mortalité 
s’est donc exercée pendant six mois sur le nombre c, qui doit être 
diminué de ee chef, et qui deviendra c (1 —{ d)=c(1— 4} 
(à cause de la petitesse du facteur d?). Le personnel, au 1* janvier 
1859, sera donc en définitive A’ = A (4 — d) + e (1 — d)3; ou 
bien, en faisant (4 — d)— b; cb3 — c’ 
Ac pie D Este) 
Les constantes de cette formule sont : 
A = 2640; 
b — 0,9721 ; log. b = 9,98771 ; 
== 109, 
C’est elle qui nous a servi à calculer de proche en proche, et 
pour 20 années à partir de 1858, le budget probable des pensions 
des sous-officiers et soldats de notre armée. Les résultats numé- 
riques du calcul sont consignés dans le tableau 47. 
D'après la méthode que nous avons suivie pour calculer ce ta- 
bleau, une erreur commise sur une année se propage sur toutes 
les années suivantes. Il est donc utile, comme vérification, d’avoir 
une formule qui permette de calculer a priori, et pour une année 
quelconque, la valeur numérique du personnel des pensionnés. 
Pour obtenir une telle formule, il nous suffit de reprendre le rai- 
sonnement qui nous a déjà servi une première fois. En effet : au 
1°" janvier 1860, le personnel sera A’ (1 — d) + c(1— d): 
=(Ab+c)b+c = AP + c (b +1) = A": 
